n个点用n-1条边连接，求两个点间的最短路
显然可以想到用floyd预处理，但复杂度过高
所以一些巨发明了LCA
为什么这类最短路问题要找最近公共祖先，这是一个显然的问题，最近公共祖先说简陋了就是在这个“树”上找一个“转折点"
LCA分为离线和在线两种，这里先写在线的方法
在线LCA运用的思想是倍增
何为倍增？
在我这个渣看来，一个正整数是可以写成一个或多个n不相同的2^n的和
那么一些时候就可以依据这一特征进行算法优化，log一下复杂度就大大降低了
具体的代码实现大体分三部分
首先是用邻接表实现的深搜，得到每个点的“深度”（将这个图看成树）
需要注意的是for循环中间i的判断条件与memset初始化的head[]数组值有关
f[edge[i].to][0]记录的值为其父节点
1 void dfs(int p){ 2 for(int i=head[p];i;i=edge[i].next){ 3 if(!deep[edge[i].to]){ 4 deep[edge[i].to]=deep[p]+1; 5 f[edge[i].to][0]=p; 6 dfs(edge[i].to); 7 } 8 } 9 }
接着是对f[][]数组预处理
f[i][j] 表示点i向上走2^j步到达的点p
f[i][j-1] 表示节点i向上走2^(j-1)步到达的节点p'
p'再向“上”走2^j-2^(j-1)=2^(j-1)步则可到达p
所以可以得到递推式f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]
1 void work(){ 2 for(int j=1;(1<<j)<=n;j++) 3 for(int i=1;i<=n;i++) 4 if(f[i][j-1]!=-1) 5 f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]; 6 }
最后就是LCA核心
这里的i需要单独定义出来
注意依据深度aa和bb，一定要从下向上走的吧
1 int lca(int aa,int bb){ 2 int i; 3 if(deep[aa]<deep[bb]) swap(aa,bb); 4 for(i=0;(1<<i)<=deep[aa];i++); 5 i--; 6 for(int j=i;j>=0;j--) 7 if(deep[aa]-(1<<j)>=deep[bb]) 8 aa=f[aa][j]; 9 if(aa==bb) return aa; 10 for(int j=i;j>=0;j--){ 11 if(f[aa][j]!=-1&&f[aa][j]!=f[bb][j]){ 12 aa=f[aa][j]; 13 bb=f[bb][j]; 14 } 15 } 16 return f[aa][0]; 17 }
附一模板题
1036 商务旅行
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某首都城市的商人要经常到各城镇去做生意，他们按自己的路线去做，目的是为了更好的节约时间。
假设有N个城镇，首都编号为1，商人从首都出发，其他各城镇之间都有道路连接，任意两个城镇之间如果有直连道路，在他们之间行驶需要花费单位时间。该国公路网络发达，从首都出发能到达任意一个城镇，并且公路网络不会存在环。
你的任务是帮助该商人计算一下他的最短旅行时间。
输入文件中的第一行有一个整数N，1<=n<=30 000，为城镇的数目。下面N-1行，每行由两个整数a 和b (1<=a, b<=n; a<>b)组成，表示城镇a和城镇b有公路连接。在第N+1行为一个整数M，下面的M行，每行有该商人需要顺次经过的各城镇编号。
在输出文件中输出该商人旅行的最短时间。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 int n=0,x=0,y=0,cnt=0,head[30010],deep[30010],f[30010][33],m=0,a=0,b=0,ans=0; 7 struct data{ 8 int next,to; 9 }edge[60010]; 10 11 void add(int start,int end){ 12 edge[++cnt].next=head[start]; 13 edge[cnt].to=end; 14 head[start]=cnt; 15 } 16 17 void dfs(int p){ 18 for(int i=head[p];i;i=edge[i].next){ 19 if(!deep[edge[i].to]){ 20 deep[edge[i].to]=deep[p]+1; 21 f[edge[i].to][0]=p; 22 dfs(edge[i].to); 23 } 24 } 25 } 26 27 void work(){ 28 for(int j=1;(1<<j)<=n;j++) 29 for(int i=1;i<=n;i++) 30 if(f[i][j-1]!=-1) 31 f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]; 32 } 33 34 int lca(int aa,int bb){ 35 int i; 36 if(deep[aa]<deep[bb]) swap(aa,bb); 37 for(i=0;(1<<i)<=deep[aa];i++); 38 i--; 39 for(int j=i;j>=0;j--) 40 if(deep[aa]-(1<<j)>=deep[bb]) 41 aa=f[aa][j]; 42 if(aa==bb) return aa; 43 for(int j=i;j>=0;j--){ 44 if(f[aa][j]!=-1&&f[aa][j]!=f[bb][j]){ 45 aa=f[aa][j]; 46 bb=f[bb][j]; 47 } 48 } 49 return f[aa][0]; 50 } 51 52 int main(){ 53 scanf("%d",&n); 54 memset(head,0,sizeof(head)); 55 memset(deep,0,sizeof(deep)); 56 memset(f,-1,sizeof(f)); 57 for(int i=1;i<n;i++){ 58 scanf("%d%d",&x,&y); 59 add(x,y); 60 add(y,x); 61 } 62 deep[1]=1; 63 dfs(1); 64 work(); 65 66 scanf("%d",&m); 67 scanf("%d",&a); 68 for(int i=1;i<m;i++){ 69 scanf("%d",&b); 70 ans+=deep[a]+deep[b]-2*deep[lca(a,b)]; 71 a=b; 72 } 73 printf("%d ",ans); 74 return 0; 75 }