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  • 关于欧拉通路、欧拉回路的一些定理,推论

    关于欧拉通路、欧拉回路的一些定义:

    无向图:
    G是一个连通的无向图
    (1)经过G的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路(起点和终点不一定要一样)。
    (2)如果欧拉通路是回路(起点和终点是同一个),则为欧拉回路。
    (3)具有欧拉回路的无向图G称为欧拉图。

    有向图:
    D是一个有向图,D的基图(把D的有向边改为无向边)是连通的
    (1)经过D的每条边一次并且仅一次的路径称为有向欧拉通路(起点和终点不一定一样)。
    (2)如果有向欧拉通路是回路(起点和终点一样),那么称为有向欧拉通路。
    (3)具有有向欧拉通路的有向图D称为有向欧拉图。


    关于欧拉通路、欧拉回路的判定:

    无向图G存在欧拉通路的充分必要条件:G为连通图,并且G仅有两个奇度结点(度数为奇数的节点)或者无奇度结点。
    推论1:当无向图G是有两个奇度的连通图时,G的欧拉通路必定以这两个结点为端点。
    推论2:当无向图G是无奇度的连通图时,G必有欧拉回路。
    推论3:无向图G存在欧拉回路的充分必要条件:G为无奇度结点的连通图,并且G仅有两个奇度结点(度数为奇数的节点)或者无奇度结点。

    有向图D存在有向欧拉通路的充分必要条件:D为有向图,D的基图连通,并且所有顶点的出度与入度都相等(情况1);或者除了两个定点外,其余顶点的出度与入度都相等,而这两个顶点中,一个顶点的出度与入度之差为1,另一个出度与入度只差为-1(情况2)。
    推论(1):情况1说明存在的是有向欧拉回路。
    推论(2):情况2说明存在的是有向欧拉通路,通路以出度与入度之差为1的顶点作为起点,以出度与入度之差为-1的顶点作为终点。
    推论(3):有向图D存在有向欧拉回路的充分必要条件:D的基图为连通图,并且所有顶点的出入与入度都相等。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zxhl/p/5459752.html
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