快速幂！
模板如下：
#include<iostream> #include<cmath> #include<cstdio> #define LL long long using namespace std; LL b,p,k; LL fastpow(LL a,LL b) { LL r=1; LL base=a; while(b!=0) { if(b%2!=0)//奇次幂 r=r*base; base=base*base; b=b/2; } return r; } LL fff(LL n,LL m) { if(m == 0) return 1; LL t = fff(n,m /2); t = 1LL * t * t % k; if(m&1) t = 1LL * t * n % k; return t; } LL mod_exp(LL a, LL b, LL c) //快速幂取余a^b%c { LL res,t; res=1%c; t=a%c; while(b) { if(b&1) { res=res*t%c; } t=t*t%c; b>>=1;//就等价于b/2(位运算) } return res; } int main() { scanf("%lld%lld%lld",&b,&p,&k); LL tmpb=b; b%=k;//防止b太大 /* start 快速幂求得b^p */ cout<<tmpb<<"^"<<p<<"="<<fastpow(b,p)<<endl; /* end 快速幂求得b^p */ /* start 快速幂求得b^p%k */ cout<<tmpb<<"^"<<p<<" mod "<<k<<"="<<mod_exp(b,p,k)<<endl; /* 方法一 end */ cout<<tmpb<<"^"<<p<<" mod "<<k<<"="<<fff(b,p)<<endl; /* 方法二 end */ /* end 快速幂求得b^p%k */ return 0; }
快速幂取模算法x
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作者在后面x
所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。
先从简单的例子入手：求a^b % c = ?。
算法1、首先直接地来设计这个算法：
int ans = 1; for(int i = 1;i<=b;i++) ans = ans * a; ans = ans % c;
这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。
那么，先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式：
a^b%c = (a%c)^b%c
即积的取余等于取余的积的取余。
证明了以上的公式以后，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减少a的大小，
于是不用思考的进行了改进：
算法2：
int ans = 1; a = a % c; //加上这一句 for(int i = 1;i<=b;i++) ans = ans * a; ans = ans % c;
应该可以想到，既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。
算法3：
int ans = 1; a = a % c; //加上这一句 for(int i = 1;i<=b;i++) ans = (ans * a) % c;//这里再取了一次余 ans = ans % c;
这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。
快速幂算法依赖于以下明显的公式，就不证明啦。
有了上述两个公式后，我们可以得出以下的结论：
1.如果b是偶数，我们可以记k = a2 mod c，那么求(k)b/2 mod c就可以了。
2.如果b是奇数，我们也可以记k = a2 mod c，那么求((k)b/2 mod c × a ) mod c =((k)b/2 mod c * a) mod c 就可以了。
那么我们可以得到以下算法：
算法4：
int ans = 1; a = a % c; if(b%2==1) ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中 k = (a*a) % c; //我们取a2而不是a for(int i = 1;i<=b/2;i++) ans = (ans * k) % c; ans = ans % c;
我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。
但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化,我们所要求的最终结果即为(k)b/2 mod c而不是原来的ab mod c,所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。
当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。
当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。
于是便可以在O（log b）的时间内完成了。
于是，有了最终的算法：快速幂算法。
算法5：快速幂算法
int ans = 1; a = a % c; while(b>0) { if(b % 2 == 1) ans = (ans * a) % c; b = b/2; a = (a * a) % c; }
将上述的代码结构化，也就是写成函数：
int PowerMod(int a, int b, int c) { int ans = 1; a = a % c; while(b>0) { if(b % 2 = = 1) ans = (ans * a) % c; b = b/2; a = (a * a) % c; } return ans; }
本算法的时间复杂度为O（logb），能在几乎所有的程序设计（竞赛）过程中通过，是目前最常用的算法之一。
希望本文有助于掌握快速幂算法的知识点，当然，要真正的掌握，不多练习是不行的。
再次强调，文转
By 夜せ︱深