数据的表示与运算-浮点数

数据的表示与运算-浮点数

前言：

计算机中，数字分为定点数和浮点数。相对于浮点数，定点数比较好理解，原码补码反码移码。而浮点数十分繁杂。

关于浮点数的繁杂，我觉得最好的解释就是，(William M. Kahan)因其在浮点数运算标准的制定上的突出贡献而获得图灵奖。(Kahan)也是浮点数(IEEE754)标准的主要设计师。

初识浮点数：

假如说我们现在想要表示光速这样一个数值，我们可以怎么做？

• (1:)采用整数方式把他写出来，那么就是(300...00m/s)。这样数字十分的长，与计算机不好保存。
• (2:)采用科学计数法，那么就是(3*10^{8}m/s)，那么如果我现在想保存这个数字，那么我只需要记录三个信息，第一个是(3)，第二个是(10)，第三个是(8)。

两种方法比较：

• 很明显第一种方法需要我们用更多的存储空间来保存它，而对于科学计数法，我们并不需要记录那么多的数却能表示同样的数值。

• 对于计算机而言，只能认识(0/1)符号，这在硬件实现上更为方便简单。所以我们这时候可以把(10)这个底数给取消掉，计算机默认他是(2)，这样我们就可以只用保存两个数字，来表示这样一个大的数字。

• 对于表示电子的质量，太阳系的直径，这样非常极端的数字时，科学计数法的优势显得更为明显。它更方便。

• 但我们也可以发现，如果说我要表示的数字不是(300...000)，而是(29935...13)这样的数字，而我科学计数法采用(2.9*10^{8})，那么我势必丢掉一些精度。

• 在我的理解看来，浮点数的表示是用精度来换取表示范围。

• 所以这里我们似乎也能理解为什么在(c)语言中，(double)比(float)能表示更高的精度，因为(double)位数更高，他能表示更多的小数。

• 也能多少的理解浮点数为什么叫浮点数，因为随着我数字的指数不同，小数点的位置也在随之改变。

浮点数的表示：

通常，浮点数可以表示为：(N=r^E*M)。

其中(r)是阶码的底，通常为(2)，且与尾数的基数相同。

(E)是阶码，(M)是尾数。

如下所示：

• 阶符	阶码的数值部分	数符	尾数的数值部分
  (J_f)	(J_1J_2,...,J_m)	(S_f)	(S_1S_2,...,S_n)

阶码是整数，阶符和阶码共同表示浮点数的表示范围以及小数点的实际位置；

数符表示正负，尾数的数值表示浮点数的精度。

浮点数规格化：

先看门见山讲一下什么叫规格化。

规格化规定尾数的最高数位必须是一个有效值。

通过以上的阅读，我们可以发现，要想让精度最大化，那么我们就需要让尾数部分尽可能的保存有效的数字。

比如说对于这两个数（二进制）

• (2^{10}*0.01)和(2^{01}*0.1).

这两个数是相等的，但是第二个数明显可以在尾数上少保存一位(0)，所以这时候我们可以对浮点数进行规格化，让他能表示更高的精度。

所谓规格化，是指通过一定的操作改变浮点数的尾数和阶码的大小，让浮点数(非0)的尾数在最高位保证是一个有效值。

有如下两种方法：

• 左规：当浮点数运算结果为非规格化时需要进行规格化处理，将尾数算术左移一位，并将阶码减一（二进制）。（左规可能需要进行多次）
• 右规：当浮点数运算尾数出现溢出时，也就是双符号为出现了(01/10)，需要将尾数算术右移一位并将阶码加一。右规只进行一次。

那么规格化的浮点数的尾数的范围就是(frac{1}{2}leq |M|leq 1)。

分析：

• 假设用原码来表示尾数：
  • 正数：
    • 数的最大值是(0.11...111)，此时真值为(1-2^{-n})。
    • 数的最小值时(0.10...000)，此时真值为(frac{1}{2})。
    • 绝对值的范围为([frac{1}{2},1-2^{-n}])。
  • 负数：
    • 数的最大值是(1.10...00)，此时真值为(-frac{1}{2})。
    • 数的最小值是(1.11...11)，此时真值为(-(1-2^{-n}))。
    • 绝对值的范围是([frac{1}{2},1-2^{-n}])。
• 假设用补码来表示尾数：
  • 正数：
    • 正数的补码与原码相同，不做分析。
  • 负数：
    • 负数的最大值为(1.011...1)，最小值为(1.00...0)。
    • 绝对值得范围为([frac{1}{2}+2^{-n},1])。
    • 这里需要注意。尾数的最大值不是(1.10...00)这样的形式，因为(1.10...000)不是一个规格化数。
    • 这里我查了一些资料，有两种说法我比较认可，第一个是对于(1.10000)，我可以接着对他规格化到(1.00000)；第二个是方便机器的设计，对于原码，我可以判断他的尾数最高位是不是(1)来判断他是否规格化，对于补码，我可以判断他的数符和尾数最高位是否相同来判断他是否规格化。

IEEE754标准：

按照(IEEE754)标准，浮点数表示格式如下：

• 数符	阶码（用移码表示）	尾数（用原码表示，隐藏最高位(1)）
  (m_s)	(E)	(M)

为了最大幅度的增大浮点数表示精度，我们尾数最高位如果为(1)我们将其隐藏。举个例子，假如说尾数是(1011)，那么我们存储(011)。

(float)和(double)都是满足(IEEE754)标准的浮点数。

阶码以移码形式存在。对于短浮点数(float)，偏置值为(127)，对于长浮点数(double)，偏置值为(1023)。

那么可以这么求：我先将(E)的看成补码形式求出其值，然后减去(127/1023)就是他的移码代表的值。

• ((-1)^s*1.M*2^{E-127})（短浮点数）。
• ((-1)^s*1.M*2^{E-1023})（长浮点数）。

浮点数的加减运算：

浮点数运算需要将阶码运算和尾数运算分隔开。且分成以下几步：

• 对阶
• 尾数加减
• 规格化
• 舍入
• 判断溢出：阶码溢出

接下来一一分析。

对阶：

对阶的目的是让两个操作数阶码相等。原则是小阶向大阶看齐的方法。将阶码小的数尾数右移，阶码加一知道阶码相等。当然因为右移需要舍弃数据，所以精度会受影响。

• 尾数加减：

  • 对阶后进行定点数加减运算。

• 规格化：

  • 按照上文所述的规格化进行左规或者右规。

• 舍入：

  • 在对阶和右规的过程中，可能会尾数低位丢失，引起误差，常见的舍入方法有：
    • (1:)(0)舍(1)入法：尾数右移的时候如果是(0)，就舍去；如果是(1)，就在尾数末尾(+1)，这样有可能让尾数溢出，需要进行一次右规。(假设那个尾数全是1，加上就会一直进位进位到溢出)。
    • (2:)恒置(1)法：尾数丢掉后不管是(1)还是(0)，补上(1)，这样可能会使尾数变大或者变小。

• 溢出判断：

  最后一步需要判断溢出。

  在浮点数规格化部分已经知道尾数双符号位出现(01,10)，并不表示溢出，将此数右规即可。

  浮点数的溢出是由阶码决定的。双符号阶码出现(01/10)，这时候就溢出了。

  • (10:)阶码小于最小阶码，按机器零处理。
  • (01:)阶码大于最大阶码，进入中断处理。