主席树学习笔记
参考博文
前置知识
- 权值线段树
- 权值线段树和普通线段树区别在于他们维护的东西不一样:
- 权值线段树维护值域,普通线段树维护区间。
初始主席树
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主席树的发明人的名字简称是(hjt),所以得名主席树。
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主席树全称是可持久化权值线段树。
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可持久化思想可以观察此图来理解:
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图中红色的为历史节点,蓝色的是新建节点(修改后的节点)。
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每次只更改一条链,也就是(logn)个点。
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主席树不采用(p*2,p*2+1)的方式来表示左右儿子,而是需要动态开点地保存左右儿子的编号,从而节约空间。
经典入门问题
- 洛谷3834:主席树模板
- 给定一个序列长度为(n),给定(m)个询问,每次询问指定的闭区间([L,R])内查找区间内第(k)小值。
- 数据范围(1leq n,mleq 2*10^5,-10^9leq a_ileq 10^9)。
问题分析
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首先考虑从区间([1,n])查询区间第(k)小要怎么做,这里很明显,可以使用权值线段树来做。
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这里给一道例题在这。链接。
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那接下来考虑这个问题,先简化一下问题,求区间([1,R])第(k)小的数字要怎么做?
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首先找到插入(R)节点时的历史版本,然后用普通权值线段树就可以了。
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那么现在拓展到原问题,求([L,R])区间的第(k)小值。
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这里需要运用前缀和的知识。对于求([L,R])的值,我们只需要用([1,R])的信息减去([1,L-1])的信息。
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模拟一下这个过程:
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假设序列长度为(4),序列为(3 1 2 4),查询([2,3])区间第(2)小的数字。
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插入(3)
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插入(1)
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插入(2)
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插入(4)
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序列为(3 1 2 4)。
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我们现在要查询([2,3])区间内第(2)小的数字,首先需要把第(1)棵线段树和第(3)棵线段树拿出来
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我们发现对应节点相减,刚刚好是([2,3])区间内某个范围数的个数,比如说([1,2])这个节点相减为(2),说明在原序列([2,3])这个区间内有两个数在([1,2])范围内。([3,4])相减为(0),说明原序列([2,3])区间中没有数字在([3,4])范围内。
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那我们从根节点开始,计算左孩子范围的数字(num),如果(kleq num),说明第(k)小的数字在左子树中,递归进入左子树,否则进入右子树。
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空间分析:
- 因为我们是动态开点,首先最初的线段树有(2n-1)个节点,每次操作会增加(logn)个节点。最坏情况下总结点数(2n-1+nlogn),那么对于(10^5)来讲,开(20*10^5)较为妥当,但这时候还是不要吝惜空间比较好,所以直接用(2^5*10^5)开空间。
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至此,问题解决,详见代码。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 10;
int a[maxn], num[maxn], n, m, len;
int sum[maxn<<5]; //sum(i)存储根为i的子树的大小
int ls[maxn<<5]; //左儿子
int rs[maxn<<5]; //右儿子
int rt[maxn<<5]; //根节点
int tot; //一共出现多少个根
int build(int l, int r)
{
int root = ++tot;
if(l == r) return root;
int mid = (l + r) >> 1;
ls[root] = build(l, mid);
rs[root] = build(mid+1, r);
return root; //返回这课子树的根节点
}
//插入操作
int update(int pre, int l, int r, int k)
{
int root = ++tot;
ls[root] = ls[pre], rs[root] = rs[pre], sum[root] = sum[pre] + 1;
if(l == r) return root;
int mid = (l + r) >> 1;
//更改左子树或右子树
if(k <= mid) ls[root] = update(ls[pre], l, mid, k);
else rs[root] = update(rs[pre], mid+1, r, k);
return root;
}
//查询操作
int query(int u, int v, int l, int r, int k)
{
if(l == r) return l;
int x = sum[ls[v]] - sum[ls[u]];
int mid = (l + r) >> 1;
if(k <= x) return query(ls[u], ls[v], l, mid, k);
else return query(rs[u], rs[v], mid+1, r, k - x);
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
scanf("%d", &a[i]);
num[i] = a[i];
}
//离散化
sort(num+1, num+1+n);
len = unique(num+1, num+1+n) - num - 1;
rt[0] = build(1, len);
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
int t = lower_bound(num+1, num+1+len, a[i]) - num;
rt[i] = update(rt[i-1], 1, len, t);
}
int l, r, k;
while(m--)
{
scanf("%d%d%d", &l, &r, &k);
int ans = query(rt[l-1], rt[r], 1, len, k);
printf("%d
", num[ans]);
}
return 0;
}