二维凸包学习笔记

二维凸包学习笔记

初识二维凸包

• 凸包是计算机图形学中的一个概念。
• 但是讲大白话的话就是：
  • 给你一堆点，然后用一个多边形把这些点圈起来，这个多边形就是凸包。（当然多边形周长是最小的。）
• 求凸包有好多种方法，(Graham)法较为常用。
• (Graham)葛立恒，曾经是美国数学学会((AMS))主席。

前置知识

• 简单平面几何知识
• 叉积的概念或基础的线性代数中的行列式知识

Graham算法

本质

• (Graham)扫描算法维护一个凸壳，通过不断地在凸壳中加入新的点和取出影响凸性的点最后形成凸包。
• 凸壳：凸包的一部分。

算法流程

(1:)排序

• 选择一个(y)值最小的点（如果有相同的(y)，则选择(x)最小），记为(P_1)。
• 那其实就相当于选了一个最下边的点，而且这个点一定在凸包的边上。
• 剩下的点按照极角的大小逆时针排序，编号为(P_2)~(P_n)

(2:)扫描

• 逆时针顺序扫描(P_1)_{$P_2$，$P_2$}(P_3,...,P_n)~(P_1)，如果扫描的那条线是逆时针，则确定他是凸包的点，否则不是。
• 这么说比较抽象，直接来看过程图示模拟。

过程模拟

• 首先我随机设置了一些点，如图所示。

• 

• 之后我先取(y)值最小的点，很显然是最下方的那个点，将他设置为(P_1)。

• 

• 之后按照极角排序

• 

• 这时候我们就给点编好号了

• 我们先扫描(P_1)到(P_2)。

• 

• 然后扫描(P_2)~(P_3)

• 

• 我们发现新的这一条先也是逆时针的，所以我们将(P_3)候选。

• 当然对于整幅图，(P_3)不在凸包上，但是对于(P_1,P_2,P_3)来讲，(P_3)在凸包上。

• 接下来扫描(P_3)~(P_4)

• 

• 我们发现新的扫描的(P_3)_{$P_4$顺时针了，说明$P_3$不应该候选，$P_4$应该候选，所以将$P_2$}(P_3)删除后加入(P_2)~(P_4)。

• 

• 之后我们看(P_4)到(P_5)

• 

• 这时候是逆时针，将(P_5)候选。

• 接下来扫描(P_6)

• 

• 这时候顺时针了，所以(P_5)不应该候选，删除(P_4)_{$P_5$后加入$P_4$}(P_6)。

• 

• 然后看(P_7)

• 

• 逆时针，(P_7)候选

• 最后连接(P_1)回来即可

• 

代码实现

• 我们发现每次扫描一个出点的时候都是先让他可能候选，当他下一条出的边依然是逆时针就将他确定候选，所以这时候用一个栈来保存点就可以了。

• 当他可能候选的时候入栈，如果不是的话(pop)栈即可。

• 对于顺时针还是逆时针，我们运用叉积来判断。（如果这里学过线性代数应该就能很快理解代码里的VP函数）

• 模板题：洛谷2742二维凸包

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 10;

int n;

struct Node{
    double x, y;
}p[maxn], s[maxn];
//p是点 s数组模拟栈

//二维向量叉积公式a(x1, y1), b(x2, y2)
//a × b = (x1y2 - x2y1)
double vp(Node a1, Node a2, Node b1, Node b2){
    //VectorProduct 向量叉积
    return (a2.x-a1.x)*(b2.y-b1.y) - (b2.x-b1.x)*(a2.y-a1.y);
}

double dis(Node a, Node b){
    //返回两点距离
    return sqrt((b.y-a.y)*(b.y-a.y)+(b.x-a.x)*(b.x-a.x));
}

bool cmp(Node a, Node b)
{
    double tmp = vp(p[1], a, p[1], b);
    if(tmp > 0) return 1;
    //叉积为0 说明两点共线
    //让离远点远的点排在靠后的地方
    if(tmp == 0 && dis(p[0], a) < dis(p[0], b)) return 1;
    return 0;
}//极角排序

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
        if(i != 1 && (p[i].y < p[1].y || (p[i].y == p[1].y && p[i].x < p[1].x))) //让p1保存最靠下的点
        {
            double tmp;
            tmp = p[1].y; p[1].y = p[i].y; p[i].y = tmp;
            tmp = p[1].x; p[1].x = p[i].x; p[i].x = tmp;
        }
    }

    sort(p+2, p+1+n, cmp);

    int cnt = 1; //stack.size()
    s[1] = p[1];

    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        //判断上一个点会不会不合法
        while(cnt > 1 && vp(s[cnt-1], s[cnt], s[cnt], p[i]) <= 0)
            cnt--;
        s[++cnt] = p[i];
    }
    s[cnt+1] = p[1];  //最后回到起点
    //此时栈中存的是所有凸包上的点
    double ans = 0;
    for(int i = 1; i <= cnt; i++)
        ans += dis(s[i], s[i+1]);
    printf("%.2f
", ans);
    return 0;
}