1 #include<stdio.h> 2 #include<algorithm> 3 #include<iostream> 4 #include<string.h> 5 #include<math.h> 6 using namespace std; 7 8 const int MAXN=50; 9 10 11 12 int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵 13 int x[MAXN];//解集 14 bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元 15 16 17 18 /* 19 void Debug(void) 20 { 21 int i, j; 22 for (i = 0; i < equ; i++) 23 { 24 for (j = 0; j < var + 1; j++) 25 { 26 cout << a[i][j] << " "; 27 } 28 cout << endl; 29 } 30 cout << endl; 31 } 32 */ 33 34 35 inline int gcd(int a,int b) 36 { 37 int t; 38 while(b!=0) 39 { 40 t=b; 41 b=a%b; 42 a=t; 43 } 44 return a; 45 } 46 inline int lcm(int a,int b) 47 { 48 return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出 49 } 50 51 // 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解,但无整数解, 52 //-1表示无解,0表示唯一解,大于0表示无穷解,并返回自由变元的个数) 53 //有equ个方程,var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var. 54 int Gauss(int equ,int var) 55 { 56 int i,j,k; 57 int max_r;// 当前这列绝对值最大的行. 58 int col;//当前处理的列 59 int ta,tb; 60 int LCM; 61 int temp; 62 int free_x_num; 63 int free_index; 64 65 for(int i=0;i<=var;i++) 66 { 67 x[i]=0; 68 free_x[i]=true; 69 } 70 71 //转换为阶梯阵. 72 col=0; // 当前处理的列 73 for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++) 74 {// 枚举当前处理的行. 75 // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差) 76 max_r=k; 77 for(i=k+1;i<equ;i++) 78 { 79 if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i; 80 } 81 if(max_r!=k) 82 {// 与第k行交换. 83 for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]); 84 } 85 if(a[k][col]==0) 86 {// 说明该col列第k行以下全是0了,则处理当前行的下一列. 87 k--; 88 continue; 89 } 90 for(i=k+1;i<equ;i++) 91 {// 枚举要删去的行. 92 if(a[i][col]!=0) 93 { 94 LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col])); 95 ta = LCM/abs(a[i][col]); 96 tb = LCM/abs(a[k][col]); 97 if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加 98 for(j=col;j<var+1;j++) 99 { 100 a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb; 101 } 102 } 103 } 104 } 105 106 // Debug(); 107 108 // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0). 109 for (i = k; i < equ; i++) 110 { // 对于无穷解来说,如果要判断哪些是自由变元,那么初等行变换中的交换就会影响,则要记录交换. 111 if (a[i][col] != 0) return -1; 112 } 113 // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行,即说明没有形成严格的上三角阵. 114 // 且出现的行数即为自由变元的个数. 115 if (k < var) 116 { 117 // 首先,自由变元有var - k个,即不确定的变元至少有var - k个. 118 for (i = k - 1; i >= 0; i--) 119 { 120 // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况,因为这样的行是在第k行到第equ行. 121 // 同样,第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况,这样的无解的. 122 free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数,如果超过1个,则无法求解,它们仍然为不确定的变元. 123 for (j = 0; j < var; j++) 124 { 125 if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j; 126 } 127 if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元. 128 // 说明就只有一个不确定的变元free_index,那么可以求解出该变元,且该变元是确定的. 129 temp = a[i][var]; 130 for (j = 0; j < var; j++) 131 { 132 if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j]; 133 } 134 x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元. 135 free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的. 136 } 137 return var - k; // 自由变元有var - k个. 138 } 139 // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵. 140 // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0. 141 for (i = var - 1; i >= 0; i--) 142 { 143 temp = a[i][var]; 144 for (j = i + 1; j < var; j++) 145 { 146 if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j]; 147 } 148 if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解,但无整数解. 149 x[i] = temp / a[i][i]; 150 } 151 return 0; 152 } 153 int main(void) 154 { 155 freopen("in.txt", "r", stdin); 156 freopen("out.txt","w",stdout); 157 int i, j; 158 int equ,var; 159 while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF) 160 { 161 memset(a, 0, sizeof(a)); 162 for (i = 0; i < equ; i++) 163 { 164 for (j = 0; j < var + 1; j++) 165 { 166 scanf("%d", &a[i][j]); 167 } 168 } 169 // Debug(); 170 int free_num = Gauss(equ,var); 171 if (free_num == -1) printf("无解! "); 172 else if (free_num == -2) printf("有浮点数解,无整数解! "); 173 else if (free_num > 0) 174 { 175 printf("无穷多解! 自由变元个数为%d ", free_num); 176 for (i = 0; i < var; i++) 177 { 178 if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的 ", i + 1); 179 else printf("x%d: %d ", i + 1, x[i]); 180 } 181 } 182 else 183 { 184 for (i = 0; i < var; i++) 185 { 186 printf("x%d: %d ", i + 1, x[i]); 187 } 188 } 189 printf(" "); 190 } 191 return 0; 192 }