1 struct vector 2 { 3 double x,y; 4 vector (double X=0,double Y=0) 5 { 6 x=X,y=Y; 7 } 8 } 9 typedef vector point;
向量四则运算
1 vector operator + (vector a,vector b) {return vector (a.x+b.x,a.y+b.y); } 2 vector operator - (vector a,vector b) {return vector (a.x-b.x,a.y-b.y);} 3 vector operator * (vector a,double p) {return vector (a.x*p,a.y*p);} 4 vector operator / (vector a.double p){return vector (a.x/p,a.y/p);}
精度控制
1 const double eps=1e-8; 2 int dcmp(double x) 3 { 4 if (fabs(x)<eps) return 0; 5 else return x<0?-1:1; 6 }
求a向量的长度
1 double len(vector a) 2 { 3 return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y) 4 }
点积
a·b的几何意义为a在b上的投影长度乘以b的模长
a·b=|a||b|cosθ,其中θ为a,b之间的夹角
坐标表示
a=(x1,y1) b=(x2,y2)
a·b=x1*x2+y1*y2;
1 double dot(vector a,vector b) 2 { 3 return a.x*b.x+a.y*b.y; 4 }
两个向量的叉积是一个标量，a×b的几何意义为他们所形成的平行四边形的有向面积
坐标表示a=(x1,y1) b=(x2,y2)
a×b=x1y2-x2y1
1 double cross(vector a,vector b) 2 { 3 return a.x*b.y-a.y*b.x; 4 }
点、直线、线段的关系
点到直线的距离
利用叉积求面积，然后除以平行四边形的底边长，得到平行四边形的高即点到直线的距离
1 double distl(point p,point a,point b) 2 { 3 vector v=p-a; vector u=b-a; 4 return fabs(cross(v,u))/len(u); 5 }
点到线段的距离
比点到直线的距离稍微复杂。因为是线段，所以如果平行四边形的高在区域之外的话就不合理，这时候需要计算点到距离较近的端点的距离
1 double dists(point p,point a,point b) 2 { 3 if (a==b) return len(p-a); 4 vector v1=b-a,v2=p-a,v3=p-b; 5 if (dcmp(dot(v1,v2))<0) return len(v2); 6 else if (dcmp(dot(v1,v3))>0) return len(v3); 7 return fabs(cross(v1,v2))/len(v1); 8 }
判断两个线段是否相交
跨立实验：判断一条线段的两端是否在另一条线段的两侧（两个端点与另一线段的叉积乘积为负）。需要正反判断两侧
1 bool segment(point a,point b,point c,point d) 2 { 3 double c1=cross(b-a,c-a),c2=cross(b-a,d-a); 4 double d1=cross(d-c,a-c),d2=cross(d-c,b-c); 5 return dcmp(c1)*dcmp(c2)<0&&dcmp(d1)*dcmp(d2)<0; 6 }
求两条直线的交点
1 point line_intersection(point a,point a0,point b,point b0) 2 { 3 double a1,b1,c1,a2,b2,c2; 4 a1 = a.y - a0.y; 5 b1 = a0.x - a.x; 6 c1 = cross(a,a0); 7 a2 = b.y - b0.y; 8 b2 = b0.x - b.x; 9 c2 = cross(b,b0); 10 double d = a1 * b2 - a2 * b1; 11 return point((b1 * c2 - b2 * c1) / d,(c1 * a2 - c2 * a1) / d); 12 }
多边形相关 判断点在多边形内部
射线法：以该点为起点引一条射线，与多边形的边界相交奇数次，说明在多边形的内部
1 int pointin(point p,point* a,int n) 2 { 3 int wn=0,k,d1,d2; 4 for (int i=1;i<=n;i++) 5 { 6 if (dcmp(dists(p,a[i],a[(i+1-1)%n+1]))==0) return -1;//判断点是否在多边形的边界上 7 k=dcmp(cross(a[(i+1-1)%n+1]-a[i],p-a[i])); 8 d1=dcmp(a[i].y-p.y); 9 d2=dcmp(a[(i+1-1)%n+1].y-p.y); 10 if (k>0&&d1<=0&&d2>0) wn++; 11 if (k<0&&d2<=0&&d1>0) wn--; 12 } 13 if (wn) return 1; 14 else return 0; 15 }
求多边形的面积
1 double PolygonArea(Point* p,int n) 2 { 3 double area=0; 4 for(int i=1;i<n-1;i++) 5 area+=cross(p[i]-p[0],p[i+1]-p[0]); 6 return area/2; 7 }