HDU 6128 Inverse of sum（同余）

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6128

题意：
有一个a数列，并且每个数都小于p，现在要求有多少对$(i,j)$满足$frac{1}{a_i+a_j} equiv frac{1}{a_i}+frac{1}{a_j} mod p$，0没有逆元。

 

思路：
根据同余的性质对式子进行化简，在一个同余式两边同时做加法、减法或乘法仍保持同余。

先可以化简为 $1 equiv 1+frac{a_j}{a_i}+1+frac{a_i}{a_j} mod p  qquad $

然后 $a_i^2+a_j^2+a_ia_j equiv 0 mod p qquad $

最后两边乘以$a_i-a_j$，得到$a_i^3-a_j^3 equiv 0 mod p qquad$

需要特别注意的就是$a_i=a_j$的情况，因为此时乘以$a_i-a_j$就相当乘以了0，那么两边肯定就是相等，所以相等的时候就要用第二个式子来判断，这里计算三次方会爆long long，需要用快速乘法。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <map>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+5;

int n;
ll p;
ll ans;
ll a[maxn];

map<ll,int> num;
map<ll,int> cnt;

ll fast_mul(ll x, ll k)
{
    ll ans=0;
    while(k)
    {
        if(k&1)  ans=(ans+x)%p;
        x=(x+x)%p;
        k>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%I64d",&n,&p);
        num.clear();
        cnt.clear();
        ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%I64d",&a[i]);
            if(a[i]==0)  continue;
            if(fast_mul(fast_mul(a[i],a[i]),3))  ans-=cnt[a[i]]++;
            ll tmp = fast_mul(fast_mul(a[i],a[i]),a[i]);
            ans+=num[tmp]++;  //和前面的num[tmp]个数都可以组合
        }
        printf("%I64d
",ans);
    }
    return 0;
}