POJ 3744 Scout YYF I（矩阵快速幂优化+概率dp）

http://poj.org/problem?id=3744

题意：

现在有个屌丝要穿越一个雷区，雷分布在一条直线上，但是分布的范围很大，现在这个屌丝从1出发，p的概率往前走1步，1-p的概率往前走2步，求最后顺利通过雷区的概率。

思路：

首先很容易能得到一个递推式：$dp[i]=p*dp[i-1]+(1-p)*dp[i-2]$。但是直接递推肯定不行，然后我们发现这个很容易构造出矩阵来，但是这样还是太慢。

接下来讲一下如何优化，对于第i个雷，它的坐标为x[i]，那么那顺利通过它的话，只能在x[i]-1的位置走2步。

观察上图，可以发现每次起点就相当于是雷后面的一个格子，这样的话我们就可以分块处理（有多少雷就分多少块），先计算出起点到雷的概率y，那么1-y就是顺利通过这块的概率。最后乘法原理乘起来即可。

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#include<cstdio>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn=100000+10;

int n;
double p, ans;
int x[15];

struct Matrix
{
    double mat[2][2];
    Matrix()
    {
        for(int i=0;i<2;i++)
        for(int j=0;j<2;j++)
            mat[i][j]=0;
    }
    Matrix operator* (const Matrix& b) const
    {
        Matrix c;
        for(int i=0;i<2;i++)
        for(int j=0;j<2;j++)
        for(int k=0;k<2;k++)
            c.mat[i][j]+=mat[i][k]*b.mat[k][j];
        return c;
    }
}base;

Matrix q_pow(Matrix base, int n)
{
    Matrix res;
    res.mat[0][0]=res.mat[1][1]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) res=res*base;
        base=base*base;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    while(~scanf("%d%lf",&n,&p))
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)  scanf("%d",&x[i]);
        sort(x+1,x+n+1);
        base.mat[0][0]=p;
        base.mat[0][1]=1-p;
        base.mat[1][0]=1;
        base.mat[1][1]=0;
        ans=1;
        Matrix tmp=q_pow(base, x[1]-1);
        ans*=(1-tmp.mat[0][0]);
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            if(x[i]==x[i-1])  continue;
            tmp=q_pow(base, x[i]-x[i-1]-1);
            ans*=(1-tmp.mat[0][0]);
        }
        printf("%.7f
",ans);
    }
    return 0;
}