2324: [ZJOI2011]营救皮卡丘
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Description
皮卡丘被火箭队用邪恶的计谋抢走了！这三个坏家伙还给小智留下了赤果果的挑衅！为了皮卡丘，也为了正义，小智和他的朋友们义不容辞的踏上了营救皮卡丘的道路。
火箭队一共有N个据点，据点之间存在M条双向道路。据点分别从1到N标号。小智一行K人从真新镇出发，营救被困在N号据点的皮卡丘。为了方便起见，我们将真新镇视为0号据点，一开始K个人都在0号点。
由于火箭队的重重布防，要想摧毁K号据点，必须按照顺序先摧毁1到K-1号据点，并且，如果K-1号据点没有被摧毁，由于防御的连锁性，小智一行任何一个人进入据点K，都会被发现，并产生严重后果。因此，在K-1号据点被摧毁之前，任何人是不能够经过K号据点的。
为了简化问题，我们忽略战斗环节，小智一行任何一个人经过K号据点即认为K号据点被摧毁。被摧毁的据点依然是可以被经过的。
K个人是可以分头行动的，只要有任何一个人在K-1号据点被摧毁之后，经过K号据点，K号据点就被摧毁了。显然的，只要N号据点被摧毁，皮卡丘就得救了。
野外的道路是不安全的，因此小智一行希望在摧毁N号据点救出皮卡丘的同时，使得K个人所经过的道路的长度总和最少。
请你帮助小智设计一个最佳的营救方案吧！
Input
第一行包含三个正整数N，M，K。表示一共有N+1个据点，分别从0到N编号，以及M条无向边。一开始小智一行共K个人均位于0号点。
接下来M行，每行三个非负整数，第i行的整数为Ai，Bi，Li。表示存在一条从Ai号据点到Bi号据点的长度为Li的道路。
Output
仅包含一个整数S，为营救皮卡丘所需要经过的最小的道路总和。
Sample Input
3 4 2
0 1 1
1 2 1
2 3 100
0 3 1
Sample Output
【样例说明】
小智和小霞一起前去营救皮卡丘。在最优方案中，小智先从真新镇前往1号点，接着前往2号据点。当小智成功摧毁2号据点之后，小霞从真新镇出发直接前往3号据点，救出皮卡丘。
HINT
对于10%的数据满足 K = 1，且N = 3，小智将独自前去营救皮卡丘；
对于20%的数据满足 K ≤ 3，且N ≤ 20，被小智单挑剿灭的火箭队加强了防御，增加了据点数；
对于40%的数据满足 K ≤ 3，且N ≤ 100，面对加强的防御，小智拉来了好朋友小霞和小刚，一同前去营救；
对于另外20%的数据满足任意一对据点之间均存在道路，并且对任意的0 ≤ X,Y,Z ≤ N，有不等式L(X,Z) ≤ L(X,Y) + L(Y,Z)成立；
对于100%的数据满足N ≤ 150, M ≤ 20 000, 1 ≤ K ≤ 10, Li ≤ 10 000, 保证小智一行一定能够救出皮卡丘。
至于为什么K ≤ 10，你可以认为最终在小智的号召下，小智，小霞，小刚，小建，小遥，小胜，小光，艾莉丝，天桐，还有去日本旅游的黑猫警长，一同前去大战火箭队。
Source
题解：
这题和星际竞速还有打印机两题的主体思路都是一样的
每个点一定要经过，并且要经过这个点，必须经过比这个点小的所有点。而且还存在一个附加源，但源到附加源有一定的容量限制（星际没有。。。）
这题我们采用如下方式建图:
1.把每个点拆成 i 和 i+n 两个点，分别表示从这个点出发和进入这个点
2.由s向所有i 连容量为1，费用为0的边
2.由所有i+n到t连容量为1，费用为0的边
3.由 i 向所有 j+n（j>n)连容量为1，费用为从 i 到 j，不经过比j标号大的中间节点的最短路 的边 （否则这条道路将不合法）
正确性可以从i+n 入流的来源来考虑，每一种流法都代表着一种实实在在的、合法的方案，cost就是花费时间，我们要时间最短，自然要最小费用最大流了
还有一个问题就是
费用为从 i 到 j，不经过比j标号大的中间节点的最短路 怎么求？
我自己yy了一种想法，如下：
for(int k=0;k<=n;k++) for(int i=0;i<=n;i++) for(int j=k;j<=n;j++) f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);
意思就是不使用比 j 大的节点作为中间节点来更新 i（1..n）到j的最短路
所以这个过程结束后，f[i][j]就代表着从 i 到 j不经过比 j大的节点的最短路
代码：
1 #include<cstdio> 2 #include<cstdlib> 3 #include<cmath> 4 #include<cstring> 5 #include<algorithm> 6 #include<iostream> 7 #include<vector> 8 #include<map> 9 #include<set> 10 #include<queue> 11 #define inf 1000000000 12 #define maxn 500 13 #define maxm 100000 14 #define eps 1e-10 15 #define ll long long 16 #define pa pair<int,int> 17 using namespace std; 18 inline int read() 19 { 20 int x=0,f=1;char ch=getchar(); 21 while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} 22 while(ch>='0'&&ch<='9'){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();} 23 return x*f; 24 } 25 int n,m,k,tot=1,s,t,ss,head[maxn],q[maxn],from[maxn],f[maxn][maxn]; 26 bool v[maxn]; 27 ll d[maxn],mincost; 28 struct edge{int from,next,go,v,c;}e[2*maxm]; 29 void ins(int x,int y,int z,int w) 30 { 31 e[++tot].go=y;e[tot].from=x;e[tot].v=z;e[tot].c=w;e[tot].next=head[x];head[x]=tot; 32 } 33 void insert(int x,int y,int z,int w) 34 { 35 ins(x,y,z,w);ins(y,x,0,-w); 36 } 37 bool spfa() 38 { 39 for (int i=s;i<=ss;i++)d[i]=inf; 40 memset(v,0,sizeof(v)); 41 int l=0,r=1,y;q[1]=s;d[s]=0;v[0]=1; 42 while(l!=r) 43 { 44 int x=q[++l];if(l==maxn)l=0;v[x]=0; 45 for (int i=head[x];i;i=e[i].next) 46 if(e[i].v&&d[x]+e[i].c<d[y=e[i].go]) 47 { 48 d[y]=d[x]+e[i].c;from[y]=i; 49 if(!v[y]){v[y]=1;q[++r]=y;if(r==maxn)r=0;} 50 } 51 } 52 return d[t]!=inf; 53 } 54 void mcf() 55 { 56 while(spfa()) 57 { 58 int tmp=inf; 59 for(int i=from[t];i;i=from[e[i].from]) tmp=min(tmp,e[i].v); 60 mincost+=d[t]*tmp; 61 for(int i=from[t];i;i=from[e[i].from]){e[i].v-=tmp;e[i^1].v+=tmp;} 62 } 63 } 64 int main() 65 { 66 freopen("input.txt","r",stdin); 67 freopen("output.txt","w",stdout); 68 n=read();m=read();k=read(); 69 memset(f,60,sizeof(f)); 70 for(int i=1;i<=m;i++) 71 { 72 int x=read(),y=read(),z=read(); 73 f[x][y]=min(f[x][y],z);f[y][x]=min(f[y][x],z); 74 } 75 s=0;t=2*n+1;ss=2*n+2;insert(s,ss,k,0); 76 for(int k=0;k<=n;k++) 77 for(int i=0;i<=n;i++) 78 for(int j=k;j<=n;j++) 79 f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]); 80 for(int i=1;i<=n;i++)insert(s,i,1,0); 81 for(int i=1;i<=n;i++)insert(ss,i+n,1,f[0][i]); 82 for(int i=1;i<=n;i++)insert(i+n,t,1,0); 83 for(int i=1;i<=n;i++) 84 for(int j=i+1;j<=n;j++) 85 insert(i,j+n,1,f[i][j]); 86 mcf(); 87 printf("%lld ",mincost); 88 return 0; 89 }