BZOJ1492: [NOI2007]货币兑换Cash

1492: [NOI2007]货币兑换Cash

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Description

小 Y 最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A 纪
念券（以下简称 A 券）和 B 纪念券（以下简称 B 券）。每个持有金券的顾客都有
一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。
每天随着市场的起伏波动，两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券
当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A 券和 B 券的价值分别为 AK和
BK（元/单位金券）。
为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法。
比例交易法分为两个方面：
a)
卖出金券：顾客提供一个[0，100]内的实数 OP 作为卖出比例，其意
义为：将 OP%的 A 券和 OP%的 B 券以当时的价值兑换为人民币；
b)
买入金券：顾客支付 IP 元人民币，交易所将会兑换给用户总价值为
IP 的金券，并且，满足提供给顾客的 A 券和 B 券的比例在第 K 天恰好为 RateK；

Input

第一行两个正整数N、S，分别表示小Y 能预知的天数以及初始时拥有的钱数。 接下来N 行，第K 行三个实数AK、BK、RateK，意义如题目中所述

Output

只有一个实数MaxProfit，表示第N 天的操作结束时能够获得的最大的金钱 数目。答案保留3 位小数。

Sample Input

3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3

Sample Output

225.000

HINT

测试数据设计使得精度误差不会超过10-7。
对于40%的测试数据，满足N ≤ 10；
对于60%的测试数据，满足N ≤ 1 000；
对于100%的测试数据，满足N ≤ 100 000；

Source

题解：

CDQ分治说起来容易，写起来也不容易。。。

它之所以能够保持O(n*logn)的复杂度 是因为 T(n)=2*T(n/2)+O(n) 的解为 T（n）=n*logn

所以 在计算 l--mid  对 mid+1--r 的影响时所有的操作时间都必须是线性的

所以 在 合并的时候 我们要求

1.求凸包不需要排序

2.询问 k 单调，只需用单调队列

要解决第一点，我们只需要 按归并排序的思想每次递归调用结束时 merge l--r 即可

要解决第二点，我们需要预处理对k排序，使得在solve分治的时候 ，直接分到mid+1 --r的k是有序的，尽管序号可能并不是连续的，但这不影响答案

这是一个优美的算法。

代码：

1.我找的代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define maxn 120000
#define eps 1e-9
#define inf 1e9
using namespace std;
struct query
{
    double q,a,b,rate,k;
    int pos;
}q[maxn],nq[maxn];
double fabs(double x)
{
    return (x>0)?x:-x;
}
struct point
{
    double x,y;
    friend bool operator <(const point &a,const point &b) 
    {    
        return (a.x<b.x+eps)||(fabs(a.x-b.x)<=eps&&a.y<b.y+eps);
    }
}p[maxn],np[maxn];
int st[maxn];
double f[maxn];
int n,m;

double getk(int i,int j)
{
    if (i==0) return -inf;
    if (j==0) return inf;
    if (fabs(p[i].x-p[j].x)<=eps) return -inf;
    return (p[i].y-p[j].y)/(p[i].x-p[j].x);
}

void solve(int l,int r)
{
    if (l==r)//此时l之前包括l的f值已经达到最优，计算出对应的点即可
    {
        f[l]=max(f[l-1],f[l]);
        p[l].y=f[l]/(q[l].a*q[l].rate+q[l].b);
        p[l].x=p[l].y*q[l].rate;
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1,l1=l,l2=mid+1;
    //对询问集合排序，1位置2斜率
    for (int i=l;i<=r;i++)
        if (q[i].pos<=mid) nq[l1++]=q[i];
        else nq[l2++]=q[i];
    for (int i=l;i<=r;i++) q[i]=nq[i];
    //递归左区间
    solve(l,mid);
    //左半区所有点都以计算好，把它们入栈，维护凸壳
    int top=0;
    for (int i=l;i<=mid;i++)
    {
        while (top>=2&&getk(i,st[top])+eps>getk(st[top],st[top-1])) top--;
        st[++top]=i;
    }
    //拿左半区更新右半区
    int j=1;
    for (int i=r;i>=mid+1;i--)//保证询问斜率递减
    {
        while (j<top&&q[i].k<getk(st[j],st[j+1])+eps) j++;
        f[q[i].pos]=max(f[q[i].pos],p[st[j]].x*q[i].a+p[st[j]].y*q[i].b);
    }        
    //递归右区间
    solve(mid+1,r);
    //合并左右区间的点，按照x,y排序
    l1=l,l2=mid+1;
    for (int i=l;i<=r;i++)
        if ((p[l1]<p[l2]||l2>r)&&l1<=mid) np[i]=p[l1++];
        else np[i]=p[l2++];
    for (int i=l;i<=r;i++) p[i]=np[i];
}

bool cmp(query a,query b)
{
    return a.k<b.k;
}

int main()
{
    freopen("input.txt","r",stdin);
    freopen("output2.txt","w",stdout);
    scanf("%d%lf",&n,&f[0]);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lf%lf%lf",&q[i].a,&q[i].b,&q[i].rate);
        q[i].k=-q[i].a/q[i].b;
        q[i].pos=i;
    }
    sort(q+1,q+n+1,cmp);
    solve(1,n);
    //for(int i=1;i<=n;i++)cout<<i<<' '<<f[i]<<endl;
    printf("%.3lf
",f[n]);
    return 0;
}

2.我的代码（基本一样。。。都是抄的。。。）

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#define inf 1000000000
#define maxn 100000+1000
#define maxm 500+100
#define eps 1e-10
#define ll long long
#define pa pair<int,int>
using namespace std;
struct rec{double a,b,rate,k;int id;}q[maxn],nq[maxn];
struct point
{
    double x,y;
    friend bool operator <(const point &a,const point &b)
    {
        return (a.x<b.x+eps||(fabs(a.x-b.x)<eps&&a.y<b.y+eps));
    }
}p[maxn],np[maxn];
double f[maxn];
int sta[maxn],n;
double getk(int i,int j)
{
    if(!i)return -inf;
    if(!j)return inf;
    if(fabs(p[i].x-p[j].x)<=eps)return -inf;
    return (p[i].y-p[j].y)/(p[i].x-p[j].x);
}
void solve(int l,int r)
{
   if(l==r)
   {
       f[l]=max(f[l],f[l-1]);
       p[l].y=f[l]/(q[l].a*q[l].rate+q[l].b);
       p[l].x=p[l].y*q[l].rate;
       return;
   }    
   int mid=(l+r)>>1,l1=l,l2=mid+1;
   for(int i=l;i<=r;i++)
    if(q[i].id<=mid)nq[l1++]=q[i];else nq[l2++]=q[i];
   for(int i=l;i<=r;i++)q[i]=nq[i];
   solve(l,mid);
   int top=0;
   for(int i=l;i<=mid;i++)
   {
       while(top>=2&&getk(i,sta[top])+eps>getk(sta[top],sta[top-1]))top--;
       sta[++top]=i;
   } 
   int j=1;
   for(int i=r;i>=mid+1;i--)
   {
       while(j<top&&q[i].k<getk(sta[j],sta[j+1])+eps)j++;
       f[q[i].id]=max(f[q[i].id],p[sta[j]].x*q[i].a+p[sta[j]].y*q[i].b);
   }
   solve(mid+1,r);
   l1=l;l2=mid+1;
   for(int i=l;i<=r;i++)
   if((p[l1]<p[l2]||l2>r)&&l1<=mid)np[i]=p[l1++];else np[i]=p[l2++];
   for(int i=l;i<=r;i++)p[i]=np[i];
}
bool cmp(rec a,rec b)
{
    return a.k<b.k;
}
int main()
{
    freopen("input.txt","r",stdin);
    freopen("output.txt","w",stdout);
    scanf("%d%lf",&n,&f[0]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
     {
      scanf("%lf%lf%lf",&q[i].a,&q[i].b,&q[i].rate);
      q[i].k=-q[i].a/q[i].b;
      q[i].id=i;
     }
    sort(q+1,q+n+1,cmp);
    solve(1,n);
    //for(int i=1;i<=n;i++)cout<<i<<' '<<f[i]<<endl;
    printf("%.3lf
",f[n]);
    return 0; 
}