3669: [Noi2014]魔法森林
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Description
为了得到书法大家的真传，小E同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含个N节点M条边的无向图，节点标号为1..N，边标号为1..M。初始时小E同学在号节点1，隐士则住在号节点N。小E需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。
魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪就会对其发起攻击。幸运的是，在号节点住着两种守护精灵：A型守护精灵与B型守护精灵。小E可以借助它们的力量，达到自己的目的。
只要小E带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无向图中的每一条边Ei包含两个权值Ai与Bi。若身上携带的A型守护精灵个数不少于Ai，且B型守护精灵个数不少于Bi，这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向小E发起攻击，他才能成功找到隐士。
由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小E想要知道，要能够成功拜访到隐士，最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为A型守护精灵的个数与B型守护精灵的个数之和。
Input
第1行包含两个整数N,M，表示无向图共有N个节点，M条边。 接下来M行，第行包含4个正整数Xi,Yi,Ai,Bi，描述第i条无向边。其中Xi与Yi为该边两个端点的标号，Ai与Bi的含义如题所述。 注意数据中可能包含重边与自环。
Output
输出一行一个整数：如果小E可以成功拜访到隐士，输出小E最少需要携带的守护精灵的总个数；如果无论如何小E都无法拜访到隐士，输出“-1”（不含引号）。
Sample Input
4 5
1 2 19 1
2 3 8 12
2 4 12 15
1 3 17 8
3 4 1 17
【输入样例2】
3 1
1 2 1 1
Sample Output
32
【样例说明1】
如果小E走路径1→2→4，需要携带19+15=34个守护精灵；
如果小E走路径1→3→4，需要携带17+17=34个守护精灵；
如果小E走路径1→2→3→4，需要携带19+17=36个守护精灵；
如果小E走路径1→3→2→4，需要携带17+15=32个守护精灵。
综上所述，小E最少需要携带32个守护精灵。
【输出样例2】
-1
【样例说明2】
小E无法从1号节点到达3号节点，故输出-1。
HINT
2<=n<=50,000
0<=m<=100,000
1<=ai ,bi<=50,000
Source
题解：
暴力的想法是枚举a的上界，做b的最小生成树。
而且有一个比较显然的性质是：
如果可以在一个生成树中加入一条边，使得树的总权值更小，那么一定是（设这条边连接 x，y）x--y原路径上的最大权值<这条边的权值
删掉这条边，加上新边。
那么我们只需要用LCT，维护点与点之间的最大权值，将边以a排序，一条一条试图往里面加即可。
如果x，y不连通直接加入，否则按上述查询x，y的最大值，比较。
然后每次都更新一下答案。
需要注意的是，边权可以转化成点权，我们从x，y各向这个新点连边、删边即可。
代码：
1 #include<cstdio> 2 #include<cstdlib> 3 #include<cmath> 4 #include<cstring> 5 #include<algorithm> 6 #include<iostream> 7 #include<vector> 8 #include<map> 9 #include<set> 10 #include<queue> 11 #include<string> 12 #define inf 1000000000 13 #define maxn 150000+1000 14 #define eps 1e-10 15 #define ll long long 16 #define pa pair<int,int> 17 #define for0(i,n) for(int i=0;i<=n;i++) 18 #define for1(i,n) for(int i=1;i<=n;i++) 19 #define for2(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++) 20 using namespace std; 21 inline int read() 22 { 23 int x=0,f=1;char ch=getchar(); 24 while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} 25 while(ch>='0'&&ch<='9'){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();} 26 return x*f; 27 } 28 struct rec{int x,y,a,b;}e[maxn]; 29 int n,m,ans,fa[maxn],c[maxn][2],sta[maxn],f[maxn],next[maxn],mx[maxn],v[maxn]; 30 bool rev[maxn]; 31 inline bool isroot(int x) 32 { 33 return c[fa[x]][0]!=x&&c[fa[x]][1]!=x; 34 } 35 inline void pushup(int x) 36 { 37 mx[x]=x; 38 if(v[mx[c[x][0]]]>v[mx[x]])mx[x]=mx[c[x][0]]; 39 if(v[mx[c[x][1]]]>v[mx[x]])mx[x]=mx[c[x][1]]; 40 } 41 inline void rotate(int x) 42 { 43 int y=fa[x],z=fa[y],l=(c[y][1]==x),r=l^1; 44 if(!isroot(y))c[z][c[z][1]==y]=x; 45 fa[x]=z;fa[y]=x;fa[c[x][r]]=y; 46 c[y][l]=c[x][r];c[x][r]=y; 47 pushup(y);pushup(x); 48 } 49 inline void pushdown(int x) 50 { 51 if(!rev[x])return; 52 rev[x]^=1;rev[c[x][0]]^=1;rev[c[x][1]]^=1; 53 swap(c[x][0],c[x][1]); 54 } 55 inline void splay(int x) 56 { 57 int top=0;sta[++top]=x; 58 for(int y=x;!isroot(y);y=fa[y])sta[++top]=fa[y]; 59 for(;top;)pushdown(sta[top--]); 60 while(!isroot(x)) 61 { 62 int y=fa[x],z=fa[y]; 63 if(!isroot(y)) 64 { 65 if(c[z][0]==y^c[y][0]==x)rotate(x);else rotate(y); 66 } 67 rotate(x); 68 } 69 } 70 inline void access(int x) 71 { 72 for(int y=0;x;x=fa[x]) 73 { 74 splay(x);c[x][1]=y;pushup(x);y=x; 75 } 76 } 77 inline void makeroot(int x) 78 { 79 access(x);splay(x);rev[x]^=1; 80 } 81 inline int ask(int x,int y) 82 { 83 makeroot(x);access(y);splay(y);return mx[y]; 84 } 85 inline void link(int x,int y) 86 { 87 makeroot(x);fa[x]=y;splay(x); 88 } 89 inline void cut(int x,int y) 90 { 91 makeroot(x);access(y);splay(y);c[y][0]=fa[x]=0; 92 } 93 inline bool cmp(rec x,rec y) 94 { 95 return x.a<y.a; 96 } 97 inline int find(int x) 98 { 99 return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]); 100 } 101 int main() 102 { 103 freopen("input.txt","r",stdin); 104 freopen("output.txt","w",stdout); 105 n=read();m=read(); 106 for1(i,m)e[i].x=read(),e[i].y=read(),e[i].a=read(),e[i].b=read(); 107 sort(e+1,e+m+1,cmp); 108 for1(i,m)v[n+i]=e[i].b,mx[i]=n+i; 109 for1(i,n)f[i]=i; 110 int x,y,z,xx,yy,ans=inf; 111 for1(i,m) 112 { 113 x=e[i].x,y=e[i].y; 114 xx=find(x);yy=find(y); 115 if(xx!=yy) 116 { 117 f[xx]=yy; 118 link(x,n+i);link(y,n+i); 119 } 120 else 121 { 122 z=ask(x,y); 123 if(e[i].b<v[z]) 124 { 125 cut(e[z-n].x,z);cut(e[z-n].y,z); 126 link(x,n+i);link(y,n+i); 127 } 128 } 129 if(find(1)==find(n))ans=min(ans,v[ask(1,n)]+e[i].a); 130 } 131 printf("%d ",ans==inf?-1:ans); 132 return 0; 133 }