BZOJ1100: [POI2007]对称轴osi

1100: [POI2007]对称轴osi

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Description

FGD小朋友——一个闻名遐迩的年轻数学家——有一个小MM，yours。FGD小朋友非常喜欢他的MM，所以他很乐意帮助他的MM做数学作业。但是，就像所有科学的容器一样，FGD的大脑拒绝不停地重复思考同样的问题。不幸的是，yours是一个十分用功的学生，所以她不停地让FGD帮助她检查她的作业。一个阳光明媚的周末，yours的数学老师布置了非常多的寻找多边形的对称轴的题，足够她做相当长的一段时间了。在此之前FGD已经决定去海边度过这个难得的假期，不过他还是觉得应该帮助他的MM对付可爱的数学作业。很快地，他找到了解决方案，最好写一个程序来帮助yours检查她的数学作业。因为FGD并非一个计算机科学家，所以他找到了他的好朋友你，请你帮助他完成这个任务。请写一个程序：读入多边形的描述计算出每个多边形的对称轴数将计算的结果输出

Input

输入的第一行包含一个正整数t(1<=t<=10)，为多边形的边数。接下来，为t个多边形的描述，每个描述的第一行为一个正整数n(3<=n<=100000)，表示了多边形的点数。然后在后面n行每行两个整数x和y(−100000000<=x, y<=100000000)，依次表示多边形的顶点坐标。多边形不一定是凸的，但是不自交——任何两条边都只有最多一个公共点——他们的公共端点。此外，没有两条连续的边平行。

Output

你的程序应该输出正好t行，第k行包含了一个整数nk——表示第k个多边形有多少个对称轴。

Sample Input

2
12
1 -1
2 -1
2 1
1 1
1 2
-1 2
-1 1
-2 1
-2 -1
-1 -1
-1 -2
1 -2
6
-1 1
-2 0
-1 -1
1 -1
2 0
1 1

Sample Output

4
2

HINT

Source

题解：

有意思的题目。计算几何的味道如此浓厚，最后却用的是字符串算法来解决。

话说我对于计算几何真是一窍不通T_T

搬运wyx528的题解：

考虑求一个多边形有多少条对称轴，我们可以把多边形表示成一个由边长和角度组成的序列，这样如果两个
点的连线 i 和 j 是一条对称轴的话，那么这两个点分割成的两个序列连起来应该是一个回文串。具体方法就是我
们找一个长度为 2n 的序列，第一个是边长，第二个是角度，第三个是边长，依次类推。记得到的这个串为 S，
我们复制 S 得到 SS，及 S 的反串为 S’，则原问题就变成了 S’在 SS 中出现了多少次，这个可以用 kmp 解决。注意
如果角度会挂精度的话可以直接用叉积来代替，因为如果边长不等的话肯定就不行了，如果边长相等的话叉积不
等，就说明了角度不等。

后面这一部分也可以直接上manacher，不用实数又没精度误差又好写，orz

代码：一些解释写在注释里

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<string>
#define inf 1000000000
#define maxn 100000+10
#define maxm 500+100
#define eps 1e-10
#define ll long long
#define pa pair<int,int>
#define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)
#define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)
#define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define mod 1000000007
#define sqr(x) (x)*(x)
using namespace std;
inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,cs,lim,ans,mx,id,p[4*maxn];
struct rec{ll x,y;}b[maxn];
struct rec2
{
   bool type;//表示该点的属性，是角还是边 
   ll x;
   friend bool operator ==(rec2 a,rec2 b)
   {
       return a.type==b.type&&a.x==b.x;
   }
}a[4*maxn];
inline ll dist(rec a,rec b)//距离的平方 
{
    return sqr(a.x-b.x)+sqr(a.y-b.y);
}
inline ll cross(rec a,rec b,rec c)//叉积 
{
    return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y);
}
int main()
{
    freopen("input.txt","r",stdin);
    freopen("output.txt","w",stdout);
    cs=read();
    while(cs--)
    {
        n=read();
        for0(i,n-1)b[i].x=read(),b[i].y=read();
        for0(i,n-1)
         {
             a[i<<1|1].type=1;
             a[i<<1|1].x=dist(b[i],b[(i+1)%n]);
         }
        for0(i,n-1)
         {
            a[i<<1].type=0;
            a[i<<1].x=cross(b[i],b[(i-1+n)%n],b[(i+1)%n]);
         }
        lim=n<<1; 
        for0(i,lim-1)a[i+lim]=a[i];//将原串赋值一遍 
        lim<<=1;
        mx=id=0;memset(p,0,sizeof(p));
        for0(i,lim-1) 
         {
             if(mx>i)p[i]=min(p[2*id-i],mx-i);
             for(;i-p[i]>=0,i+p[i]<lim,a[i-p[i]]==a[i+p[i]];p[i]++)
             if(i+p[i]>mx){mx=i+p[i];id=i;}
         }//manacher 
        ans=0; 
        for0(i,lim-1)if(p[i]-1>=n)ans++;//每条对称轴有两个顶点 
        printf("%d
",ans>>1); 
    }        
    return 0;
}