BZOJ2127: happiness

2127: happiness

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Description

高一一班的座位表是个n*m的矩阵，经过一个学期的相处，每个同学和前后左右相邻的同学互相成为了好朋友。这学期要分文理科了，每个同学对于选择文科与理科有着自己的喜悦值，而一对好朋友如果能同时选文科或者理科，那么他们又将收获一些喜悦值。作为计算机竞赛教练的scp大老板，想知道如何分配可以使得全班的喜悦值总和最大。

Input

第一行两个正整数n，m。接下来是六个矩阵第一个矩阵为n行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学选择文科获得的喜悦值。第二个矩阵为n行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学选择理科获得的喜悦值。第三个矩阵为n-1行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i+1行第j列的同学同时选择文科获得的额外喜悦值。第四个矩阵为n-1行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i+1行第j列的同学同时选择理科获得的额外喜悦值。第五个矩阵为n行m-1列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i行第j+1列的同学同时选择文科获得的额外喜悦值。第六个矩阵为n行m-1列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i行第j+1列的同学同时选择理科获得的额外喜悦值。

Output

输出一个整数，表示喜悦值总和的最大值

Sample Input

1 2
1 1
100 110
1
1000

Sample Output

1210
【样例说明】
两人都选理，则获得100+110+1000的喜悦值。
【数据规模】
对于100%以内的数据，n,m<=100 所有喜悦值均为小于等于5000的非负整数

HINT

 

Source

题解：

就算是我懂了。。。

搬运题解：

首先发现题目出现了很明显的二分图关系--选文科还是理科，很明显是一个网络流问题，联系到题目上的一个人选文科还是理科可以得到一定喜悦值，两个人同时选文科还是理科，又可以得到一定喜悦值，发现最终答案是由每个人选文科，还是选理科，这个行为确定的，与最小割有一定关系。

     继续观察，如果按最小割建立模型，每个人选文选理的代价可以在与s，t的连边上体现，这时难点就变成了如何体现两个人之间的关系：同时选文或选理需要的代价。

   这时引入一个很神奇的东西，无向边。

   这个东西是我在clj的ppt上看见的，有一个很有用的作用：若A<-->B:C，即A与B连一条权值为C的无向边，当这条无向边计入最小割时，表示这两个点分属于s，t两个集合。

   但是仅仅知道如此是不够的，因为对于A，B两点，如果他们都属于S集合，即与T集合的边已经计入最小割了，那A与B之间的边就一定不会出现在最小割里，这一点可以作图验证一二。

   所以我们应该对原图进行一定变换。注意到这里我们是想将两个点之间的关系体现在同时取s集或同时取t集的情况，即与s,与t的连接边：若A与B同时选文得到W1的喜悦值，同时选理得到W2的喜悦值，S->A:w1/2，A->T:w2/2，

S->B:w1/2，B->T:w2/2，A<-->B:(w1+w2)/2。

   为什么呢？自己画图验证，很神奇的东西，特别难想，不过做过一遍以后再做就觉得很容易了。

似乎从最小割的含义来考虑是显然的？毕竟我还太弱。。。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<string>
#define inf 1000000000
#define maxn 100000
#define maxm 500000
#define eps 1e-10
#define ll long long
#define pa pair<int,int>
#define rep(x,y) for(int i=1;i<=x;i++)for(int j=1;j<=y;j++)
#define FOR for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)
#define mod 1000000007
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int  n,m,s,t,maxflow,cnt=1,tot,a[105][105],b[105][105],mark[105][105],head[maxn],cur[maxn],h[maxn],q[maxn];
struct edge{int go,next,v;}e[maxm];
void ins(int x,int y,int z){e[++cnt].go=y;e[cnt].v=z;e[cnt].next=head[x];head[x]=cnt;}
void insert(int x,int y,int z){ins(x,y,z);ins(y,x,0);}
void ins2(int x,int y,int z){insert(x,y,z);insert(y,x,z);}
bool bfs()
{
    for(int i=s;i<=t;i++)h[i]=-1;
    int l=0,r=1;q[1]=s;h[s]=0;
    while(l<r)
    {
        int x=q[++l];
        for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
         if(e[i].v&&h[e[i].go]==-1)
         {
            h[e[i].go]=h[x]+1;q[++r]=e[i].go;
         }
    }
    return h[t]!=-1;
}
int dfs(int x,int f)
{
    if(x==t) return f;
    int tmp,used=0;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
     if(e[i].v&&h[e[i].go]==h[x]+1)
    {
        tmp=dfs(e[i].go,min(e[i].v,f-used));
        e[i].v-=tmp;if(e[i].v)cur[x]=i;
        e[i^1].v+=tmp;used+=tmp;
        if(used==f)return f;       
    }
    if(!used) h[x]=-1;
    return used;
}
void dinic()
{
    maxflow=0;
    while(bfs())
    {
        for (int i=s;i<=t;i++)cur[i]=head[i];maxflow+=dfs(s,inf);
    }
}
int main()
{
    freopen("input.txt","r",stdin);
    freopen("output.txt","w",stdout);
    n=read();m=read();
    FOR a[i][j]=read(),tot+=a[i][j],a[i][j]<<=1;
    FOR b[i][j]=read(),tot+=b[i][j],b[i][j]<<=1;
    FOR mark[i][j]=(i-1)*m+j;
    s=0;t=mark[n][m]+1;
    int x;
    rep(n-1,m)
    {
       x=read();tot+=x;
       a[i][j]+=x;a[i+1][j]+=x;
       ins2(mark[i][j],mark[i+1][j],x);
    }
    rep(n-1,m)
    {
       x=read();tot+=x;
       b[i][j]+=x;b[i+1][j]+=x;
       ins2(mark[i][j],mark[i+1][j],x);
    }
    rep(n,m-1)
    {
       x=read();tot+=x;
       a[i][j]+=x;a[i][j+1]+=x;
       ins2(mark[i][j],mark[i][j+1],x);
    }
    rep(n,m-1)
    {
       x=read();tot+=x;
       b[i][j]+=x;b[i][j+1]+=x;
       ins2(mark[i][j],mark[i][j+1],x);
    }
    FOR{
           insert(s,mark[i][j],a[i][j]);
           insert(mark[i][j],t,b[i][j]);
       }
    dinic();
    printf("%d
",tot-(maxflow>>1));
    return 0;
}

 UPD:

写了下另一种解法：

考虑同桌同选文科的额外收获w，

我们新建一个节点x，连边s-> 容量为w，

x到u,v容量为inf。

当w算入割的时候u，v都属于t割，即选了文科。

这种方法新建了很多新点，虽然速度慢，但是好理解。

代码：

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cmath>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<iostream>

#include<vector>

#include<map>

#include<set>

#include<queue>

#include<string>

#define inf 1000000000

#define maxn 200000+5

#define maxm 500000+5

#define eps 1e-10

#define ll long long

#define pa pair<int,int>

#define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)

#define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)

#define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)

#define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)

#define for4(i,x) for(int i=head[x],y;i;i=e[i].next)
#define for5(n,m) for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)

#define mod 1000000007

using namespace std;
int  n,m,s,t,cnt,sum,maxflow,tot=1,head[maxn],cur[maxn],h[maxn],num[150][150];
queue<int>q;
struct edge{int go,next,v;}e[maxm];

inline int read()

{

    int x=0,f=1;char ch=getchar();

    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}

    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}
    sum+=x*f;

    return x*f;

}
inline void add(int x,int y,int v)
{
    e[++tot]=(edge){y,head[x],v};head[x]=tot;
    e[++tot]=(edge){x,head[y],0};head[y]=tot;
}
bool bfs()
{
    for(int i=s;i<=t;i++)h[i]=-1;
    q.push(s);h[s]=0;
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
         if(e[i].v&&h[e[i].go]==-1)
         {
            h[e[i].go]=h[x]+1;q.push(e[i].go);
         }
    }
    return h[t]!=-1;
}
int dfs(int x,int f)
{
    if(x==t) return f;
    int tmp,used=0;
    for(int i=cur[x];i;i=e[i].next)
     if(e[i].v&&h[e[i].go]==h[x]+1)
    {
        tmp=dfs(e[i].go,min(e[i].v,f-used));
        e[i].v-=tmp;if(e[i].v)cur[x]=i;
        e[i^1].v+=tmp;used+=tmp;
        if(used==f)return f;       
    }
    if(!used) h[x]=-1;
    return used;
}
void dinic()
{
    maxflow=0;
    while(bfs())
    {
        for (int i=s;i<=t;i++)cur[i]=head[i];maxflow+=dfs(s,inf);
    }
}

int main()

{

    freopen("input.txt","r",stdin);

    freopen("output.txt","w",stdout);

    n=read();m=read();sum=0;s=0;t=5*n*m+1;
    for5(n,m)num[i][j]=(i-1)*m+j;cnt=num[n][m];
    for5(n,m)add(s,num[i][j],read());
    for5(n,m)add(num[i][j],t,read());
    for5(n-1,m)
    {
        add(s,++cnt,read());
        add(cnt,num[i][j],inf);
        add(cnt,num[i+1][j],inf);
    }
    for5(n-1,m)
    {
        add(++cnt,t,read());
        add(num[i][j],cnt,inf);
        add(num[i+1][j],cnt,inf);
    }
    for5(n,m-1)
    {
        add(s,++cnt,read());
        add(cnt,num[i][j],inf);
        add(cnt,num[i][j+1],inf);
    }
    for5(n,m-1)
    {
        add(++cnt,t,read());
        add(num[i][j],cnt,inf);
        add(num[i][j+1],cnt,inf);
    }
    dinic();
    printf("%d
",sum-maxflow);

    return 0;

}