BZOJ1485: [HNOI2009]有趣的数列

1485: [HNOI2009]有趣的数列

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Description

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

(2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

(3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

Sample Input

3 10

Sample Output

5

对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

HINT

Source

题解：

刚开始yy了个n^2的DP，是这样的：

因为要求前一项必须<后一项，并且奇数项<偶数项

那么我们考虑从小到大往数列里填数，则在任何时刻奇数位上的数的个数必须不小于偶数位上的数的个数

f[i][j][k]表示放到i，奇数位放了j个，偶数位放了k个（我不会说 i 位可以滚动，k位没用，只是为了方便叙述233）

则

f[i][j][k]=f[i-1][j-1][k]+f[i-1][j][k-1] j>k

f[i][j][k]=f[i-1][j][k-1] j=k

应该很好理解，因为奇数的j位必须＜偶数的j位

然后就可以n^2搞了

这个算法可以得到50分

后来没有想出什么优化的方法，然后点开题解看到catalan数瞬间惊呆了。

还是上面的思路，我们把这个过程画到平面直角坐标系上

起点为（0，0）

如果在奇数位上放数折线就向斜上方走一格，否则向右下方走一格

终点为（2*n，0）

要求折线必须时刻在x轴上方

这不就是 catalan数在买电影票问题中的经典问题吗！

答案为C（2*n，n）/（n+1）

至此，本题第一部分完成

如果模的数是质数，显然就可以逆元乱搞了，但现在模的数不是质数

由于答案一定是整数，所以我们考虑把每个数质因数分解，然后就把除法去掉了

这样做是O(n*logn) 的，对于100W的数据应该可以过

但我们有O(n) 的算法：

转自Evil.livE http://blog.csdn.net/jasonzhu8/article/details/5949622

假设现在我对于数字 i ，要把他的 j 次方加到答案中去，若k是 i 的一个质因子，那么我只要把任务交给k和i/k就可以了，因为i^j=k^j*(i/k)^j,轮到算k或者i/k的时候只要把他的指数+上 j 即可，如果 i 是质数，直接加答案即可，因为最后的答案为整数，那么必定i的指数是正数。

找一个数的一个质因子我用了线性筛

然后就神奇的做到了O(n)

具体做法可以看代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<cmath>
 4 #include<cstring>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<iostream>
 7 #include<vector>
 8 #include<map>
 9 #include<set>
10 #include<queue>
11 #include<string>
12 #define inf 1000000000
13 #define maxn 2001000
14 #define maxm 500+100
15 #define eps 1e-10
16 #define ll long long
17 #define pa pair<int,int>
18 #define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)
19 #define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)
20 #define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
21 #define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
22 using namespace std;
23 inline int read()
24 {
25     int x=0,f=1;char ch=getchar();
26     while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
27     while(ch>='0'&&ch<='9'){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}
28     return x*f;
29 }
30 int n,tot,mod,p[maxn],v[maxn],b[maxn];
31 ll ans=1;
32 inline ll power(ll x,ll y)
33 {
34     ll t=1;
35     for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)
36      if(y&1)t=t*x%mod;
37     return t;
38 }
39 int main()
40 {
41     freopen("input.txt","r",stdin);
42     freopen("output.txt","w",stdout);
43     n=read();mod=read();
44     for2(i,2,n<<1)
45     {
46      if(!v[i])p[++tot]=i;
47      for1(j,tot)
48       {
49           int k=i*p[j];
50           if(k>2*n)break;
51           v[k]=p[j];
52           if(i%p[j]==0)break;
53       }
54     }
55     for2(i,2,n)b[i]=-1;
56     for2(i,n+2,n<<1)b[i]=1;
57     for3(i,n<<1,2)
58     if(!v[i])ans=ans*power(i,b[i])%mod;
59     else b[v[i]]+=b[i],b[i/v[i]]+=b[i];
60     printf("%lld
",ans);
61     return 0;
62 }

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