数据结构之复杂度分析

1. 复杂度分析目的：判断算法程序的执行效率。
2. 事后统计法分析算法复杂度的局限性

• 测试结果依赖运行环境
• 测试结果受数据规模和数据的有序性影响比较大

　　3. 常见的复杂度分析

• 大O表示法
• 时间复杂度：不表示代码具体的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势
• 分析方法：
• 只关注执行次数最多的一段代码
• 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度。例：T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n)),则T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)),O(g(n)))=O(max(f(n),g(n)))
• 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
• 空间复杂度：算法的存储空间与数据规模之间的增长关系

 

4.最好、最坏、平均时间复杂度以及均摊时间复杂度

• 最好：理想情况下，执行一段代码的时间复杂度
• 最坏：最糟糕情况下，执行一段代码的时间复杂度（一般情况下讨论的时间复杂度均为最坏时间复杂度）
• 平均：引入概率论知识，即加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度
• 摊还：(特殊情况的平均时间复杂度)利用摊还分析法或者平摊分析
• 特殊情况下的应用场景：数据结构在一组连续操作中，大部分情况下的时间复杂度都很低，极个别情况的复杂度很高，并且这些操作之间存在前后连贯的时序关系。此时，可将这一组操作放在一起进行分析，是否能够将复杂度较高的那次操作的耗时，平摊到其它时间复杂度比较低的操作上。一般情况下，等于最好情况时间复杂度。

5.补充知识

• 等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示
• 通项公式为：an=a1+(n-1)*d。首项a1，公差d
• 前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2==Sn=[n*(a1+an)]/2==Sn=d/2*n²+（a1-d/2）*n
• 等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示
• 等比数列的通项公式是：
  
• 等比求和：

  
  ①当q≠1时，

  

   或

  
  ②当q=1时，

  
• 等比数列和等差数列的关系：一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列