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  • 扩展欧几里得算法(exgcd)

    Bezout定理

      对于任意整数a,b,存在一对整数x,y满足:a*x+b*y=gcd(a,b)

    证明如下:

      在欧几里得算法的最后一步:b=0,即:gcd(a,0)=a

    对于b>0,根据欧几里得算法gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。假设存在一对x,y满足:b*x+(a%b)*y=gcd(b,a%b)

    因为b*x+(a%b)*y=b*x+(a-b*(a/b))*y=a*y+b*(x-(a/b)*y)   //规定这里和下一行的除号'/'是向下取整。

    所以令x'=y,y'=x-(a/b)*y,就得到了a*x'+b*y'=gcd(a,b)。对欧几里得算法过程应用数学归纳法,该定理成立。

    代码模板如下:

    int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
    {
        if (b==0) return {x=1; y=0; return a;}//欧几里得算法最后一步,返回gcd(a,b)
        int d=gcd(b,a%b,x,y);//欧几里得算法递归 
        int z=x; x=y; y=z-(a/b)*y;
        return d; 
    }

    注意到,上述的代码中x,y均是引用的方式进行传递的,求出x,y的一组解,并且返回a,b的最大公约数d

    那么Bezout有什么具体用处呢?求解线性方程!

    具体说明如下:

    对于一般的方程:a*x+b*y=c 若方程有解,则满足裴蜀定理:gcd(a,b) | c ,我们可以先求出a*x+b*y=gcd(a,b)的一组特

    x0,y0,再令x0,y0*c/d,那么就是a*x+b*y=c 的一组特解(x0*c/d,y0*c/d)

    乘法逆元,线性同意方程求解都是需要Bezout的。

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