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  • 线性同余方程的求解

      在乘法逆元里我们对于仅满足b,m互质的情况,我们需要求解的是一个同余方程:b*x≡1(mod m),那么接下来我们就讨论一下类似的线性同余方程的求解。

    线性同余方程:

      给定整数a,b,m,求一个整数满足:a*x≡b(mod m),或给出无解。

      因为未知数的次数为1,所以我们称之为线性同余方程。

    求解过程:

      a*x≡b(mod m)可以说明a*x-bm的倍数,所以我们不妨设a*x-b=-y*m,即:a*x+m*y=b 根据Bezout定理证明过程,我们可以知道这个方程有解的条件是:

    gcd(a,m)| b 接下来类似于Bezout算法求解:先求出一组特解x0,y0满足a*x0+m*y0=gcd(a,m),然后x=x0/gcd(a,m)*b就是线性同余方程的一个解。

      方程的通解则是模m/gcd(a,m)与x同余的整数。

    下面给出一道求解同余方程的裸题://NOIP 2012  http://www.nyzoj.com:5283/problem/1124

    题目

    求关于 x 的同余方程 ax1(modb的最小正整数解。

    输入

    • 输入只有一行,包含两个正整数 a,b用一个空格隔开。

    输出

    • 输出只有一行,包含一个正整数 x0,即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

    样例一

    input

    3 10

    output

    7

    限制与约定

    • 对于 40% 的数据,有 2≤b≤1000
    • 对于 60% 的数据,有 2≤b≤50000000
    • 对于 100% 的数据,有 2≤a,b≤2000000000;

    时间限制:1s

    空间限制:128MB

    #include<cstdio>
    typedef long long ll;
    ll a,b,x,y;
    ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
    {
        if (b==0){x=1;y=0;    return a;}
        ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
        ll z=x; x=y; y=z-(a/b)*y;
        return d;
    }
    int main()
    {
        scanf ("%lld%lld",&a,&b);
        exgcd(a,b,x,y);
        printf("%lld",(x%b+b)%b);
        return 0;
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zylAK/p/9574729.html
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