leetcode4. Median of Two Sorted Arrays

题目大意：找到两个排序数组的中位数。

水了一发，将两个数组合并为一个数组，直接输出中位数了。（可见leetcode好像并没有对时间进行控制）。

public class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        
        int []num = new int [nums1.length+nums2.length];
        int i;
        for(i = 0;i < nums1.length;i++)
        num[i] = nums1[i];
        
        for(int j = 0;j < nums2.length;j++)
        num[i++] = nums2[j];
        
        int m = num.length;
        Arrays.sort(num);
        
        if(num.length == 0) return 0;
        
        if(num.length == 1) return num[0];
        
        if(m % 2 == 0)
        return (double)(num[m/2-1] + num[m/2])/2;
        else
        return (double)num[m/2];
        
    }
}

另一种方法：

该问题换成另一种说法就是：寻找两个数组中第K小的数字，这里K=（m+n）/ 2。

首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。

证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。

当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)

通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：

• 如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
• 如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；
• 如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；

（原文分析：  http://blog.csdn.net/zxzxy1988/article/details/8587244）

class solution
{
   public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) 
　　 { 
        int n = nums1.length+nums2.length;
        if(n % 2 != 0)
        return find_median(nums1,nums1.length,nums2,nums2.length,n/2+1);
        else
        return (find_median(nums1,nums1.length,nums2,nums2.length,n/2)+find_median(nums1,nums1.length,nums2,nums2.length,n/2+1))/2;
        
    }
    
    
    public int find_median(int a[],int m,int b[],int n,int k)
    {
        if(m > n) return find_median(b,n,a,m,k);
        if(m == 0) return b[k-1];
        if(k == 1) return min(a[0],b[0]);
        
        int pa = min(k/2,m), pb = k - pa;
        if(a[pa-1] < b[pb-1])
        return find_median(a+pa,m-pb,b,n,k-pa);
        
        else if (a[pa-1] > b[pb-1])
        return find_median(a,m,b+pb,n-pb,k-pb);
        
        else
        return a[pa-1];
    }
    
    public int min(int a, int b)
    {
        if(a < b) return a;
        else return b;
    }
}

在最好情况下，每次都有k一半的元素被删除，所以算法复杂度为logk，由于求中位数时k为（m+n）/2，所以算法复杂度为log(m+n)。