OIer数学相关

更新记录

【1】2020.07
【2】2020.08

目录

• （狭义）数论
• 排列组合
• 这是啥？自己看
• 高等数学
• 高斯消元

总前言

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这里会不定期产出彩蛋，过一段时间又会恢复原样
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以证明为主的东西你会发现与原书相似又不相似
那是因为思路相似，但是过程可能不一样

数论

前言

为啥叫狭义呢，因为某些是数论的东西我单独拿出来了

思考了很久，决定还是得重学数论

数论这个东西吧，主要是证明，过程很好懂
（但是让你证明的时候你就完蛋了）

不像微积分似的，根本看不懂
（但是学习之后自己做题的时候一点问题没有）

自己还放着一大堆博客没有写呢

但是没有关系，忘掉那些，这里是数论的天下

正文

初等数论 - I（陈景润）

[P12 - 引理8]
设    (a;)与(;b;)都是正整数，且(a>b,;;a=bq+r;(0<r<b))
其中   (q,r)都是正整数，则 ((a,b)=(b,r))

————————证明————————

设    ((a,b)=c)

则    (a=cm; , ;b=cn)

则    (r=a-bq=cm-cnq=c;(m-nq))

所以   (c;|;r)

所以   (c;|;(b,r))

设    ((b,r)=d>c)

由上知  ((a,b)=d>c)

而这与假设相矛盾，所以

((a,b);=;c;=;(b,r))

证毕

• 总结：通过基本的算术变换或通过证矛盾都是得结论的方法

[P18 - 引理9]
设(a,bin N^*)，({a,b}=m)，(n)为 (a;,;b) 的公倍数，则 (m;|;n)

————————证明————————

有  (1leqslant mleqslant n)

有  (a;|;m;,;b;|;m;,;a;|;n;,;b;|;n)

设  (m=aa';,;m=bb';,;n=aa'';,;n-bb'')

设  (n=mq+r;(0leqslant r<m))

由于 (n-mq=r)

得  (aa''-aa'q=r;,;bb''-bb'q=r)

得  (a(a''-a'q)=r;,;b(b''-b'q)=r)

所以 (a;|;r;,;b;|;r)

所以 (r) 为 (a;,;b) 的公倍数

又因 ({a,b}=m)

所以 (r=0)

所以 (m;|;n)

证毕

• 总结：通过证0值（特殊值）的方式证明

[P19 - 引理10]
设 (a,bin N^*)，((a,b)=m;,;{a,b}=n)，则 (ab=mn)

————————证明————————

有  (ab=np)

则  (dfrac{n}{b}=dfrac{a}{p};,;dfrac{n}{a}=dfrac{b}{p})

则  (p;|;a;,;p;|;b)，为 (a;,;b) 的公因数

设  (a;,;b) 的另一个公因数(m')

则  (m'=dfrac{ab}{q'})

则  (q'=dfrac{ab}{m'})

因为 (dfrac{a}{m'},dfrac{b}{m'}in N^*)

所以 (q')为 (a,b) 的公倍数

所以 (dfrac{q'}{n}=dfrac{ab}{m'left(dfrac{ab}{p} ight)}=dfrac{p}{m'})

因为 (forall m'|p)

所以 (p=(a,b)=m)

所以 (ab=mn)

证毕

• 总结：证其中一点，由性质得普遍结论

[P58 - 引理1]
如果 ((a,b)=1)，则 (exists;x,yin Z) 使得 (ax+by=1)

————————证明————————

证明分三步

(i)

如果 (Z_1,Z_2)是能够写为形如 (ax+by) 的两个整数

因为 (Z_1=ax_1+by_1)

(Z_2=ax_2+by_2)

则 (k_1Z_1+k_2Z_2=ak_1 x_1+ak_2 x_2+bk_1 y_1+bk_2 y_2=(k_1x_1+k_2x_2)a+(k_1y_1+k_2y_2)b)

所以对于 (k_1,k_2in Z)，(k_1Z_1+k_2Z_2)也可以写作形如 (ax+by) 的形式

EDITing...

排列组合

前言

说实话这是我小学时的噩梦

正文

为了更好的理解基础概念，我们用一个题来展开：

给定一个集合(S)，内有(n)个元素，且(1-n)每个数恰好出现一次
如果不计顺序，求出从集合(S)中选出(m;(m<=n))个元素的方案数

• 不计顺序就是说((1,3,2)) 和 ((1,2,3))算两种方案

我们想：既然不计顺序，则第一个数有(n)种选择方案，对于每种方案，第二个数有(n-1)种选择方案，第三个数有(n-2)种
以此类推，第(m)个数有(n-m)种选择方案

所以：(A^m_n=n imes(n-1) imes(n-2) imesdots imes(n-m)=dfrac{n!}{(n-m)!})

如果计顺序呢？
也就是说((1,3,2)) 和 ((1,2,3))算一种方案

设(lambda(x))为含有(x)个的元素的集合的全排列个数

则我们发现，每个重复的集合都被恰好计算了(lambda(m))次

所以：(C^m_n=dfrac{A^m_n}{lambda(m)}=dfrac{A^m_n}{m!}=dfrac{n!}{m!(n-m)!})
（不会真的有人不知道全排列个数怎么推吧，不会吧不会吧）
（写了一堆没用的）

插空与隔板

例如这么两个题

[1]已知三元一次方程(x+y+z=13)，求这个方程的正整数解的个数
高斯消元党请自觉往下面去

乍一看 这是什么玩意 这完全没有思路

但意思其实就是给你13个球，让你用两块板子将其分隔成三部分
既然分隔，所以我们看的不是球的个数，而是空隙的个数

所以答案为：(C^2_{12}=66)

验证程序：

#include<iostream>
#define F(a,b) for(int a=1;a<=b;a++)
int ans;
signed main(){
	F(i,13) F(o,13) F(p,13)
		if(i+o+p==13) ans+=1;
	std::cout<<ans;
}

out: 66

[2]已知三元一次方程(x+y+z=13)，求这个方程的非负整数解的个数

非负说明了可能有零的出现

意思其实就是给你13个球，让你分到3个箱子里，每个箱子允许不放
就等价于每个箱子事先放进去1个，然后13个球让你分到3个箱子里，每个箱子里至少有一个
就相当于16个球用俩板子分成三部分

所以答案为：(C^2_{15}=105)

验证程序：

#include<iostream>
#define F(a,b) for(int a=0;a<=b;a++)
int ans;
signed main(){
	F(i,13) F(o,13) F(p,13)
		if(i+o+p==13) ans+=1;
	std::cout<<ans;
}

out: 105

太懒了不想写

平面向量

前言

没啥好说的，OI数学基础，多巩固巩固就彳亍了

正文

基础不想写

高等数学

前言

你微积分永远是你微积分
某些希腊修改，原因是原来的渲染出来不好看

正文

高等数学 - 第七版（同济大学）

讲到微积分必先讲到函数的极限，讲到极限必先讲到极限的定义

【定义1】
设函数(f(x))在点(x_0)的某一去心邻域内有定义
如果存在常数(A)，对于任意给定的 (xiin N^*)，总存在(deltain N^*)
使得当(x)满足不等式 (0<|;x-x_0;|<delta) 时
对应的函数值都满足不等式(;|;f(x)-A;|<xi)
那么常数(A)就叫做函数(f(x))当(x o x_0)的极限，记作
(limlimits_{x o x_0}f(x)= A) 或 (f(x) o A)（当 (x o x_0)）

即

(limlimits_{x o x_0}f(x)=ALeftrightarrowforallxi>0,existsdelta>0)
当 (0<|;x-x_0;|<delta) 时
有 (|;f(x)-A;|<xi)

[例1]
证明 (limlimits_{x o 1}(2x-1)=1)
这题面不是废话么QAQ
但是既然让证明了，我们也不能不做（当代理科作业现状）

解：

由于 (|;f(x)-A;|=|;2x-2;|=2;|;x-1;|)

要使 (|;f(x)-A;|<xi)

就需要使 (2|;x-1;|<xi)

此时可取 (delta=dfrac{xi}{2})

当(x)满足 (0<|;x-1;|<delta) 时

对应函数值满足 (|;f(x)-1;|<xi)

从而 (limlimits_{x o 1}(2x-1)=1)

• 总结：证明极限时只需要找到一个合法的 (delta) 值即可

[例2]
证明：(limlimits_{x o x_0}sqrt{x}=sqrt{x_0};;(x_0>0))

解：

由于 (|;f(x)-A;|=|;sqrt{x}-sqrt{x_0};|=left|;dfrac{x-x_0}{sqrt{x}+sqrt{x_0}}; ight|)

要使 (|;f(x)-A;|<xi)

就需要使 (left|;dfrac{x-x_0}{sqrt{x}+sqrt{x_0}}; ight|<xi)

转化得 (dfrac{|;x-x_0;|}{sqrt{x_0}}<xi)

(|;x-x_0;|<sqrt{x_0}xi)

同时要使 (x>0)

此时可取(delta=min{;x_0,sqrt{x_0}xi;})

当(x)满足 (0<|;x-x_0;|<delta) 时

对应函数值满足 (|;sqrt{x}-sqrt{x_0};|<xi)

从而 (limlimits_{x o x_0}sqrt{x}=sqrt{x_0};;(x_0>0))

[例3]
计算极限 (limlimits_{x o infty}dfrac{arctan x}{x})

解：

因为 (limlimits_{x o infty}dfrac{arctan x}{x}=limlimits_{x o infty}dfrac{1}{x}·limlimits_{x o infty}arctan x)

(limlimits_{x o infty}dfrac{1}{x}=0;,|limlimits_{x o infty}arctan x;|<dfrac{pi}{2})

所以 (limlimits_{x o infty}dfrac{arctan x}{x}=0)

高斯消元

正文

以下称为矩阵的初等行变换

• 用非零的数乘某一行
• 交换两行的位置
• 将其中一行的若干倍加到另一行上

也就是说，高斯消元就是通过初等行变换去求解变化为增广矩阵的线性方程组

例如下面这个方程组：

(egin{cases}2x_0+x_1+5x_2+x_3=23\-x_0+2x_1+8x_2-4x_3=11\3x_0+x_1-x_2+2x_3=10\x_0+6x_1+x_2x_3=20end{cases})

我们把它写成增广矩阵的形式就是：

(egin{bmatrix}2&1&5&1&23\-1&2&8&-4&11\3&1&-1&2&10\1&6&1&1&20end{bmatrix})

那么如何求解这个方程组呢？

普通的就是进行加减消元，之后将每个解写成 (kx_n=y) 的形式
那么高斯消元就是通过将增广矩阵进行初等行变换求解

变换过程：

(egin{bmatrix}0&-11&3&-1&-17\0&8&9&-3&31\0&-17&-4&-1&-50\1&6&1&1&20end{bmatrix})

(egin{bmatrix}1&6&1&1&20\0&-11&3&-1&-17\0&8&9&-3&31\0&-17&-4&-1&-50end{bmatrix})

(egin{bmatrix}1&6&1&1&20\0&1&-dfrac{3}{11}&dfrac{1}{11}&dfrac{17}{11}\0&8&9&-3&31\0&-17&-4&-1&-50end{bmatrix})

(egin{bmatrix}1&0&dfrac{29}{11}&dfrac{5}{11}&dfrac{118}{11}\0&1&-dfrac{3}{11}&dfrac{1}{11}&dfrac{17}{11}\0&0&dfrac{123}{11}&-dfrac{41}{11}&dfrac{205}{11}\0&0&-dfrac{95}{11}&dfrac{6}{11}&-dfrac{261}{11}end{bmatrix})

(egin{bmatrix}1&0&dfrac{29}{11}&dfrac{5}{11}&dfrac{118}{11}\0&1&-dfrac{3}{11}&dfrac{1}{11}&dfrac{17}{11}\0&0&dfrac{3}{11}&-dfrac{1}{11}&dfrac{5}{11}\0&0&-dfrac{95}{11}&dfrac{6}{11}&-dfrac{261}{11}end{bmatrix})

(egin{bmatrix}1&0&0&dfrac{4}{3}&dfrac{19}{3}\0&1&0&0&2\0&0&1&-dfrac{1}{3}&dfrac{5}{3}\0&0&0&-dfrac{7}{3}&dfrac{28}{3}end{bmatrix})

(egin{bmatrix}1&0&0&dfrac{4}{3}&dfrac{19}{3}\0&1&0&0&2\0&0&1&-dfrac{1}{3}&dfrac{5}{3}\0&0&0&1&4end{bmatrix})

(egin{bmatrix}1&0&0&0&1\0&1&0&0&2\0&0&1&0&3\0&0&0&1&4end{bmatrix})

解得（对不起我选的例子不太好计算，但是上面的过程我是一步步计算来的QAQ）：

(egin{cases}x_0=1\x_1=2\x_2=3\x_3=4end{cases})

所以就解得了

E N D