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【1】2020.07.30-16:36
- 1.完善内容
前言
千万不要将行的意义和列的意义搞混!!!
正文
以下称为矩阵的初等行变换
- 用非零的数乘某一行
- 交换两行的位置
- 将其中一行的若干倍加到另一行上
也就是说,高斯消元就是通过初等行变换去求解变化为增广矩阵的线性方程组
例如下面这个方程组:
(egin{cases}2x_0+x_1+5x_2+x_3=23\-x_0+2x_1+8x_2-4x_3=11\3x_0+x_1-x_2+2x_3=10\x_0+6x_1+x_2x_3=20end{cases})
我们把它写成增广矩阵的形式就是:
(egin{bmatrix}2&1&5&1&23\-1&2&8&-4&11\3&1&-1&2&10\1&6&1&1&20end{bmatrix})
那么如何求解这个方程组呢?
普通的就是进行加减消元,之后将每个解写成 (kx_n=y) 的形式
那么高斯消元就是通过将增广矩阵进行初等行变换求解
变换过程:
(egin{bmatrix}0&-11&3&-1&-17\0&8&9&-3&31\0&-17&-4&-1&-50\1&6&1&1&20end{bmatrix})
(egin{bmatrix}1&6&1&1&20\0&-11&3&-1&-17\0&8&9&-3&31\0&-17&-4&-1&-50end{bmatrix})
(egin{bmatrix}1&6&1&1&20\0&1&-dfrac{3}{11}&dfrac{1}{11}&dfrac{17}{11}\0&8&9&-3&31\0&-17&-4&-1&-50end{bmatrix})
(egin{bmatrix}1&0&dfrac{29}{11}&dfrac{5}{11}&dfrac{118}{11}\0&1&-dfrac{3}{11}&dfrac{1}{11}&dfrac{17}{11}\0&0&dfrac{123}{11}&-dfrac{41}{11}&dfrac{205}{11}\0&0&-dfrac{95}{11}&dfrac{6}{11}&-dfrac{261}{11}end{bmatrix})
(egin{bmatrix}1&0&dfrac{29}{11}&dfrac{5}{11}&dfrac{118}{11}\0&1&-dfrac{3}{11}&dfrac{1}{11}&dfrac{17}{11}\0&0&dfrac{3}{11}&-dfrac{1}{11}&dfrac{5}{11}\0&0&-dfrac{95}{11}&dfrac{6}{11}&-dfrac{261}{11}end{bmatrix})
(egin{bmatrix}1&0&0&dfrac{4}{3}&dfrac{19}{3}\0&1&0&0&2\0&0&1&-dfrac{1}{3}&dfrac{5}{3}\0&0&0&-dfrac{7}{3}&dfrac{28}{3}end{bmatrix})
(egin{bmatrix}1&0&0&dfrac{4}{3}&dfrac{19}{3}\0&1&0&0&2\0&0&1&-dfrac{1}{3}&dfrac{5}{3}\0&0&0&1&4end{bmatrix})
(egin{bmatrix}1&0&0&0&1\0&1&0&0&2\0&0&1&0&3\0&0&0&1&4end{bmatrix})
解得(对不起我选的例子不太好计算,但是上面的过程我是一步步计算来的QAQ):
(egin{cases}x_0=1\x_1=2\x_2=3\x_3=4end{cases})
所以就解得了
那么用来代码来写就是:
[SDOI2006]线性方程组
为啥不用模板呢?因为模板数据太弱了
这道题也是板子,相比于模板加了无解的判断
因为会存在某些毒瘤卡行的数据,所以我们一切小心
不信你可以试试下面这个数据
in:
2
0 2 3
0 0 0
out:0
最外面的循环i控制消元的列数
(np)则是选择这一列系数不为(0)的一个
因为前(i)个都已经进行过消元了嘛,所以一开始我写的是(np=i)
但是这就没有想到前(i)个会出现无解或无穷解的情况
所以当出现无解或无穷解的情况时,我们操作行不变,看下一列,用变量(line)统计
然后循环(line+1 o n)发现系数不为零的就选它,为了方便实现,我们一般取最大值
至于取绝对值的原因是有可能方程组的系数集合里面没有正数
判断系数是否为零,不是就让这一行回到该到的位置
后面就全是初等行变换进行加减消元了
循环出来之后,看看这个(line)是否小于等于(n)
如果是,就说明了存在系数为0的情况
必然是无解或者无穷解
循环看看(n+1),也就是等式的结果是否为零,如果不是,无解
没有无解就肯定是无穷解啦
最后输出来个判断,防止出现(-0.00)的情况
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,np,line=1,y;
double c,eps=1e-16;
struct matrix{
double ele[10010];
}m[10010];
inline double abs(double a) {return a>0?a:-a;}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int o=1;o<=n+1;o++)
scanf("%lf",&m[i].ele[o]);
for(int i=1;i<=n;i++){
np=line;
for(int o=line+1;o<=n;o++)
if(abs(m[o].ele[i])>abs(m[np].ele[i]))
np=o;
if(!m[np].ele[i]) continue;
swap(m[i],m[np]);
for(int o=1;o<=n;o++){
if(o!=line&&m[o].ele[i]){
c=m[o].ele[i]/m[i].ele[i];
for(int p=i+1;p<=n+1;p++){
m[o].ele[p]-=c*m[i].ele[p];
}
}
}
line+=1;
}
if(line<=n){
for(int i=line;i<=n;i++){
if(m[line].ele[n+1]){
printf("-1
");
return 0;
}
}
printf("0
");
return 0;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
printf("x%d=%.2lf
",i,abs(m[i].ele[n+1]/m[i].ele[i])<eps?0:m[i].ele[n+1]/m[i].ele[i]);
}
}
[JSOI2008]球形空间产生器
比那动态规划好写多了
看题就能发现,这就是高斯消元的裸题
难点在于如何写出增广矩阵
设每个点为 (a_1,a_2,dots,a_{n+1})
每个点的坐标为(以 (a_1) 为例) (a_{1,1},a_{1,2},dots,a_{1,n})
球心的坐标为 (b_1,b_2,dots ,b_n)
分析题目,每个点到球心的距离相等,也就是说:
(sumlimits_{i=1}^n (a_{1,i}-b_i)^2=sumlimits_{i=1}^n (a_{2,i}-b_i)^2=dots =sumlimits_{i=1}^n (a_{n+1,i}-b_i)^2)
我们将每个等号两边的式子作差,就会得到(k=n)个等式:
(sumlimits_{i=1}^n (a_{k,i}-b_i)^2-(a_{k+1,i}-b_i)^2=0)
(sumlimits_{i=1}^n [a_{k,i}^2-a_{k+1,i}^2-2b_i(a_{k,i}-a_{k+1,i})]=0)
因为只有 (b_i) 是未知数,所以我们化为 (kb_i=y) 的形式:
(sumlimits_{i=1}^n 2b_i(a_{k,i}-a_{k+1,i})=sumlimits_{i=1}^n (a_{k,i}^2-a_{k+1,i}^2))
清晰明了,所以增广矩阵为:
(egin{bmatrix}2(a_{1,1}-a_{2,1})&2(a_{1,2}-a_{2,2})&cdots&2(a_{1,n}-a_{2,n})&sumlimits_{i=1}^n (a_{1,i}^2-a_{2,i}^2)\2(a_{2,1}-a_{3,1})&2(a_{2,2}-a_{3,2})&cdots&2(a_{2,n}-a_{3,n})&sumlimits_{i=1}^n (a_{2,i}^2-a_{3,i}^2)\vdots&vdots&ddots&vdots&vdots\2(a_{n,1}-a_{n+1,1})&2(a_{n,2}-a_{n+1,2})&cdots&2(a_{n,n}-a_{n+1,n})&sumlimits_{i=1}^n (a_{n,i}^2-a_{n+1,i}^2)end{bmatrix})
然后用及不严谨的高斯消元解就彳亍
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,np;
double c;
struct matrix{
double bg[110];
double ele[110];
}m[110];
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n+1;i++)
for(int o=1;o<=n;o++)
scanf("%lf",&m[i].bg[o]);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int o=1;o<=n;o++){
m[i].ele[o]=2*(m[i].bg[o]-m[i+1].bg[o]);
m[i].ele[n+1]+=m[i].bg[o]*m[i].bg[o]-m[i+1].bg[o]*m[i+1].bg[o];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
np=i;
for(int o=i+1;o<=n;o++){
if(m[o].ele[i]>m[np].ele[i]){
np=i;
}
}
if(i!=np) swap(m[i],m[np]);
for(int o=1;o<=n;o++){
if(o!=i&&m[o].ele[i]){
c=m[o].ele[i]/m[i].ele[i];
for(int p=i;p<=n+1;p++){
m[o].ele[p]-=c*m[i].ele[p];
}
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
printf("%.3lf ",m[i].ele[n+1]/m[i].ele[i]);
}
}