算法初探

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【1】2020.07.30-16:36

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前言

千万不要将行的意义和列的意义搞混！！！

正文

以下称为矩阵的初等行变换

• 用非零的数乘某一行
• 交换两行的位置
• 将其中一行的若干倍加到另一行上

也就是说，高斯消元就是通过初等行变换去求解变化为增广矩阵的线性方程组

例如下面这个方程组：

(egin{cases}2x_0+x_1+5x_2+x_3=23\-x_0+2x_1+8x_2-4x_3=11\3x_0+x_1-x_2+2x_3=10\x_0+6x_1+x_2x_3=20end{cases})

我们把它写成增广矩阵的形式就是：

(egin{bmatrix}2&1&5&1&23\-1&2&8&-4&11\3&1&-1&2&10\1&6&1&1&20end{bmatrix})

那么如何求解这个方程组呢？

普通的就是进行加减消元，之后将每个解写成 (kx_n=y) 的形式
那么高斯消元就是通过将增广矩阵进行初等行变换求解

变换过程：

(egin{bmatrix}0&-11&3&-1&-17\0&8&9&-3&31\0&-17&-4&-1&-50\1&6&1&1&20end{bmatrix})

(egin{bmatrix}1&6&1&1&20\0&-11&3&-1&-17\0&8&9&-3&31\0&-17&-4&-1&-50end{bmatrix})

(egin{bmatrix}1&6&1&1&20\0&1&-dfrac{3}{11}&dfrac{1}{11}&dfrac{17}{11}\0&8&9&-3&31\0&-17&-4&-1&-50end{bmatrix})

(egin{bmatrix}1&0&dfrac{29}{11}&dfrac{5}{11}&dfrac{118}{11}\0&1&-dfrac{3}{11}&dfrac{1}{11}&dfrac{17}{11}\0&0&dfrac{123}{11}&-dfrac{41}{11}&dfrac{205}{11}\0&0&-dfrac{95}{11}&dfrac{6}{11}&-dfrac{261}{11}end{bmatrix})

(egin{bmatrix}1&0&dfrac{29}{11}&dfrac{5}{11}&dfrac{118}{11}\0&1&-dfrac{3}{11}&dfrac{1}{11}&dfrac{17}{11}\0&0&dfrac{3}{11}&-dfrac{1}{11}&dfrac{5}{11}\0&0&-dfrac{95}{11}&dfrac{6}{11}&-dfrac{261}{11}end{bmatrix})

(egin{bmatrix}1&0&0&dfrac{4}{3}&dfrac{19}{3}\0&1&0&0&2\0&0&1&-dfrac{1}{3}&dfrac{5}{3}\0&0&0&-dfrac{7}{3}&dfrac{28}{3}end{bmatrix})

(egin{bmatrix}1&0&0&dfrac{4}{3}&dfrac{19}{3}\0&1&0&0&2\0&0&1&-dfrac{1}{3}&dfrac{5}{3}\0&0&0&1&4end{bmatrix})

(egin{bmatrix}1&0&0&0&1\0&1&0&0&2\0&0&1&0&3\0&0&0&1&4end{bmatrix})

解得（对不起我选的例子不太好计算，但是上面的过程我是一步步计算来的QAQ）：

(egin{cases}x_0=1\x_1=2\x_2=3\x_3=4end{cases})

所以就解得了

那么用来代码来写就是：

[SDOI2006]线性方程组

为啥不用模板呢？因为模板数据太弱了
这道题也是板子，相比于模板加了无解的判断

因为会存在某些毒瘤卡行的数据，所以我们一切小心
不信你可以试试下面这个数据

in:
2
0 2 3
0 0 0

out:0

最外面的循环i控制消元的列数

(np)则是选择这一列系数不为(0)的一个

因为前(i)个都已经进行过消元了嘛，所以一开始我写的是(np=i)
但是这就没有想到前(i)个会出现无解或无穷解的情况

所以当出现无解或无穷解的情况时，我们操作行不变，看下一列，用变量(line)统计

然后循环(line+1 o n)发现系数不为零的就选它，为了方便实现，我们一般取最大值
至于取绝对值的原因是有可能方程组的系数集合里面没有正数

判断系数是否为零，不是就让这一行回到该到的位置

后面就全是初等行变换进行加减消元了

循环出来之后，看看这个(line)是否小于等于(n)

如果是，就说明了存在系数为0的情况
必然是无解或者无穷解

循环看看(n+1)，也就是等式的结果是否为零，如果不是，无解
没有无解就肯定是无穷解啦

最后输出来个判断，防止出现(-0.00)的情况

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,np,line=1,y;
double c,eps=1e-16;
struct matrix{
	double ele[10010];
}m[10010];
inline double abs(double a) {return a>0?a:-a;}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int o=1;o<=n+1;o++)
			scanf("%lf",&m[i].ele[o]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		np=line;
		for(int o=line+1;o<=n;o++)
			if(abs(m[o].ele[i])>abs(m[np].ele[i]))
				np=o;
		if(!m[np].ele[i]) continue;
		swap(m[i],m[np]);
		for(int o=1;o<=n;o++){
			if(o!=line&&m[o].ele[i]){
				c=m[o].ele[i]/m[i].ele[i];
				for(int p=i+1;p<=n+1;p++){
					m[o].ele[p]-=c*m[i].ele[p];
				}
			}
		}
		line+=1;
	}
	if(line<=n){
		for(int i=line;i<=n;i++){
			if(m[line].ele[n+1]){
				printf("-1
");
				return 0;
			}
		}
		printf("0
");
		return 0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		printf("x%d=%.2lf
",i,abs(m[i].ele[n+1]/m[i].ele[i])<eps?0:m[i].ele[n+1]/m[i].ele[i]);
	}
}

[JSOI2008]球形空间产生器

比那动态规划好写多了

看题就能发现，这就是高斯消元的裸题
难点在于如何写出增广矩阵

设每个点为 (a_1,a_2,dots,a_{n+1})
每个点的坐标为（以 (a_1) 为例） (a_{1,1},a_{1,2},dots,a_{1,n})

球心的坐标为 (b_1,b_2,dots ,b_n)

分析题目，每个点到球心的距离相等，也就是说：
(sumlimits_{i=1}^n (a_{1,i}-b_i)^2=sumlimits_{i=1}^n (a_{2,i}-b_i)^2=dots =sumlimits_{i=1}^n (a_{n+1,i}-b_i)^2)

我们将每个等号两边的式子作差，就会得到(k=n)个等式：
(sumlimits_{i=1}^n (a_{k,i}-b_i)^2-(a_{k+1,i}-b_i)^2=0)

(sumlimits_{i=1}^n [a_{k,i}^2-a_{k+1,i}^2-2b_i(a_{k,i}-a_{k+1,i})]=0)

因为只有 (b_i) 是未知数，所以我们化为 (kb_i=y) 的形式：

(sumlimits_{i=1}^n 2b_i(a_{k,i}-a_{k+1,i})=sumlimits_{i=1}^n (a_{k,i}^2-a_{k+1,i}^2))

清晰明了，所以增广矩阵为：

(egin{bmatrix}2(a_{1,1}-a_{2,1})&2(a_{1,2}-a_{2,2})&cdots&2(a_{1,n}-a_{2,n})&sumlimits_{i=1}^n (a_{1,i}^2-a_{2,i}^2)\2(a_{2,1}-a_{3,1})&2(a_{2,2}-a_{3,2})&cdots&2(a_{2,n}-a_{3,n})&sumlimits_{i=1}^n (a_{2,i}^2-a_{3,i}^2)\vdots&vdots&ddots&vdots&vdots\2(a_{n,1}-a_{n+1,1})&2(a_{n,2}-a_{n+1,2})&cdots&2(a_{n,n}-a_{n+1,n})&sumlimits_{i=1}^n (a_{n,i}^2-a_{n+1,i}^2)end{bmatrix})

然后用及不严谨的高斯消元解就彳亍

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,np;
double c;
struct matrix{
	double bg[110];
	double ele[110];
}m[110];
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n+1;i++)
		for(int o=1;o<=n;o++)
			scanf("%lf",&m[i].bg[o]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int o=1;o<=n;o++){
			m[i].ele[o]=2*(m[i].bg[o]-m[i+1].bg[o]);
			m[i].ele[n+1]+=m[i].bg[o]*m[i].bg[o]-m[i+1].bg[o]*m[i+1].bg[o];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		np=i;
		for(int o=i+1;o<=n;o++){
			if(m[o].ele[i]>m[np].ele[i]){
				np=i;
			}
		}
		if(i!=np) swap(m[i],m[np]);
		for(int o=1;o<=n;o++){
			if(o!=i&&m[o].ele[i]){
				c=m[o].ele[i]/m[i].ele[i];
				for(int p=i;p<=n+1;p++){
					m[o].ele[p]-=c*m[i].ele[p];
				}
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		printf("%.3lf ",m[i].ele[n+1]/m[i].ele[i]);
	}
}