poj1655（dfs,树形dp，树的重心）

这是找树的重心的经典题目。

树的重心有下面几条常见性质：

定义1：找到一个点，其所有的子树中最大的子树节点数最少，那么这个点就是这棵树的重心。
定义2：以这个点为根，那么所有的子树（不算整个树自身）的大小都不超过整个树大小的一半。
性质1：树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么他们的距离和一样。
性质2：把两个树通过一条边相连得到一个新的树，那么新的树的重心在连接原来两个树的重心的路径上。
性质3：把一个树添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。

方法：就记节点1为树的根，两次dfs，第一次求出每个节点的所有子孙再加上它自己的节点总数num[i]。第二次就算出每个节点的balance值bal[i]，算的时候就比较节点i它所有子节点的num值（删掉它之后以每个它的子节点为根形成一棵新树）还有n-num[i]的值（删掉i之后它的父节点及其相关节点也形成一棵新树），最大的就是bal[i]。

注意：WA了几次是因为没有考虑边界情况（n==2），dfs写的太不熟练了，代码能力有待提高啊！

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define INF 1000000000
#define eps 1e-8
#define pii pair<int,int>
#define LL long long int
int T,n,a,b,ans_i,ans;
vector<int>v[20005];
int num[20005],bal[20005];
int dfs1(int i,int fa);
void dfs2(int i,int fa);
int main()
{
    //freopen("in2.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        ans_i=0;
        ans=INF;
        scanf("%d",&n);
        if(n==1)
        {
            printf("1 0
");
        }
        else if(n==2)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            printf("1 1
");
        }
        else
        {
            for(int i=1; i<=n; i++)
            {
                v[i].clear();
                num[i]=1;
                bal[i]=-1;
            }
            for(int i=1; i<n; i++)
            {
                scanf("%d%d",&a,&b);
                v[a].push_back(b);
                v[b].push_back(a);
            }
            dfs1(1,-1);
            dfs2(1,-1);
            for(int i=1; i<=n; i++)
            {
                if(bal[i]<ans)
                {
                    ans_i=i;
                    ans=bal[i];
                }
            }
            printf("%d %d
",ans_i,ans);
        }
    }
    //fclose(stdin);
    //fclose(stdout);
    return 0;
}
int dfs1(int i,int fa)
{
    /*if(v[i].size()==1)
        return num[i];*/
    /*这句判断是不能加的，加了就是WA，个中原因非常微妙：
    因为我加这句的本意是当遇到了叶子节点时，它的num就直接返回1就行了，
    而叶节点的size就是1（只有父节点）。
    但是我这里就忽略了一种特殊情况，那就是这棵数可能根节点的size也为1！！！
    所以就在这种情况下WA了。
    实际上没有必要加这一句，下面的循环语句已经可以很好的处理各个节点了。*/
    //这里可以总结一条树的性质：叶节点一定含一条边，根节点可能含一条边，其它节点至少含两条边。
    for(unsigned int j=0; j<v[i].size(); j++)
    {
        int &t=v[i][j];
        if(t==fa)
        {
            continue;
        }
        else
        {
            num[i]+=dfs1(t,i);
        }
    }
    //cout<<i<<"_-_"<<num[i]<<endl;
    return num[i];
}
void dfs2(int i,int fa)
{
    for(unsigned int j=0; j<v[i].size(); j++)
    {
        int &t=v[i][j];
        if(t==fa)
        {
            bal[i]=max(bal[i],num[1]-num[i]);
        }
        else
        {
            bal[i]=max(bal[i],num[t]);
            dfs2(t,i);
        }
    }
    //cout<<i<<"___"<<bal[i]<<endl;
}

 后来看了其它人的题解发现其实这两次的dfs结构差不多，写一次dfs就足够了，减少代码量。而且只要求最小bal，不用每个点的bal都保存，这样可以节省空间。还有一个小技巧，就是我这是从根节点遍历树，我没有必要用一个标记数组uesd[maxn]来记录每个点是不是遍历过了，只要判断每次是不是父节点就行了，父节点肯定遍历过，子节点肯定没遍历过。这样就用节省空间了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define INF 1000000000
#define eps 1e-8
#define pii pair<int,int>
#define LL long long int
const int maxn=20050;
int T,n,a,b,head[maxn],cnt,ansi,ansb;
struct node
{
    int v,next;
}e[maxn<<1];/*前向星存图时这个结构体数组存的是边的信息，
如果是无向图，千万注意要开二倍！这里容易错。*/
void ini()
{
    memset(head,-1,sizeof(int)*(n+1));
    cnt=0;
    ansi=ansb=INF;
}
void add(int aa,int bb)
{
    e[cnt].v=bb;
    e[cnt].next=head[aa];
    head[aa]=cnt++;
}
int dfs(int x,int fa)
{
    int sum=1,bx=0,t;
    //sum是以当前的x节点为根的子树所包含的节点数
    //bx是x节点的平衡值
    for(int i=head[x];i!=-1;i=e[i].next)
    {
        if(e[i].v==fa) continue;/*使用前向星存图在遍历每个点的边时要注意i是边的标号而
        不是点的标号，这里不能误写成i==fa*/
        else
        {
            t=dfs(e[i].v,x);
            bx=max(bx,t);//用子树的节点数更新bx
            sum+=t;
        }
    }
    bx=max(n-sum,bx);//这一步不能少
    if((bx<ansb)||(bx==ansb&&ansi>x))
    {
        ansi=x;
        ansb=bx;
    }
    return sum;
}
int main()
{
    //freopen("in6.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        ini();
        for(int i=1;i<=n-1;i++)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            add(a,b);
            add(b,a);
        }
        dfs(1,-1);
        printf("%d %d
",ansi,ansb);
    }
    return 0;
}