3459. 【NOIP2013模拟9.29】TheSwaps (Standard IO)

Description

Alice得到了一个整数， 她将其视作长度为n的字符串S。为了好玩，她进行了k次如下操作：
1) 随机选取两个不同的位置x和y（即每次操作， {<x, y> | 1<=x < y <=n}中每个元素都有相同的概率被选到）
2) 交换数位S[x]和数位S[y]
为了自虐，在Alice恶搞之后，Bob会随机一个子串（即对于任意子串都有相同概率被选到），然后他想知道他选出的子串中各个位置数字之和的期望为多少。聪明的Bob想出了一个很好的方法来解决这个问题，那就是把这个问题交给你。Bob会告诉你S和k，你需要告诉他期望。

 

Input

一行，包含字S和k。

 

Output

一行，一个实数。当你的输出和标准答案的差距少于10^-6时，被认为是正确的。

 

Solutions

k次交换后，ans=每一位的期望值*每一位被选出的概率，

显然第i位被选出的概率=包含i的子串数/总子串数=i*(n-i+1)/(n*(n+1)/2)，

那如何求k次交换后每一位的期望值？

我们假设最初第i位为ai，p次交换后第i位仍然等于ai的概率是x，那么p+1交换后第i为仍然等于ai的概率是x*(1-(n-1)/q))+(1-x)/q，

其中q=n*(n-1)/2，

接下来有一个性质：

如果第i位不为ai，那么第i位是a中其他任何数的概率都是一样的(交换的随机性决定的)，

因此如果k次交换后，第i位为ai的概率是x，那么第i位的期望值=ai*x+(sum-ai)/(n-1)*(1-x)。

代码

var
  a:array [0..1000001] of integer;
  s:ansistring;
  k,sum,ll:longint;
  qi,ans,tk:real;
procedure init;
var
  i,p:longint;
begin
  readln(s);
  p:=pos(' ',s); ll:=length(s);
  val(copy(s,p+1,ll-p),k);
  sum:=0; ll:=p-1;
  for i:=1 to ll do
    begin
      a[i]:=ord(s[i])-48;
      sum:=sum+a[i];
    end;
end;

procedure main;
var
  i:longint;
  o,p:real;
begin
  tk:=1; qi:=(ll-1)*ll/2;
  for i:=1 to k do
    tk:=tk*(1-(ll-1)/qi)+(1-tk)/qi;
  ans:=0;
  for i:=1 to ll do
    ans:=(i*(ll-i+1)/(ll*(ll+1)/2))*(a[i]*tk+(sum-a[i])/(ll-1)*(1-tk));
  writeln(ans:0:8);
end;

begin
  init;
  main;
end.