[Swust OJ 567]--老虎在不在笼子里(凸包问题)

题目链接：http://acm.swust.edu.cn/problem/567/

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一只老虎自从看了<越狱>以来,脾气就比较暴躁,而且变得神神秘密的.一天管理员发现老虎不见了,这下他可急坏了,赶紧通知了110.幸好这只老虎身上装了GPS,所以还有希望找到他. 
你的任务就是通过GPS给出的老虎的坐标和笼子的坐标来让电脑计算出老虎的位置,是躲在洞里了,还是跑到外面去了.

Description

输入数据有N+2行: 
第一行是一个数据N(0<=N<=12),代表了笼子的坐标X,Y的个数(X,Y都在INT范围内); 
第二到N+1行是N个坐标X,Y,依次按从下逆时针的顺序来给出的. 
最后一行是老虎的坐标X,Y; 

注：只有一组测试数据，输入的都是整数，笼子一定是凸多边形，而且老虎也不会出现在笼子边界上 


三角形的面积可以用向量的外积来计算，那么多边形是N个三角形，那么就可以。。。。。 

Input

如果老虎还在笼子里,输入"YES",否则是"NO";

Output

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

4 0 0 1 0 1 1 0 1 0.5 0.5   6 1 -1 2 0 1 1 -1 1 -2 0 -1 -1 3 3

Sample Input

1 2

YES NO

Sample Output

 

解题思路：这道题看上去可能会以为是一个很坑的数学问题，但是仔细读题就会发现

　　　　　这道题其实就是比较笼子构成的凸包面积，和加入老虎坐标新的点集构成的新凸包的面积

　　　　　是否相等的题，相等即老虎在笼子内，反之亦然~~

　　　　　关于凸包的问题，可以戳戳这里：http://www.cnblogs.com/zyxStar/p/4540984.html

 

代码如下：

//只需要判断加入该点凸包面积，和笼子构成凸包面积是否相等即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<cmath>
using namespace std;
struct node{
    double x, y;
}point[110], tiger[101], posA, posB, tmp;//posB老虎基准量

double dis(node a, node b){
    return pow((a.x - b.y), 2) + pow((a.y - b.y), 2);
}

//按点集分布排序,利用向量平行关系判断
bool cmp(node a, node b){
    double povit = (a.x - posA.x)*(b.y - posA.y) - (b.x - posA.x)*(a.y - posA.y);
    if (povit > 0 || !povit && (dis(a, posA) < dis(b, posA)))
        return true;
    return false;
}

//当前点是否在点集左侧,利用叉乘比较3个点两条线的斜率关系
bool turn_left(node p1, node p2, node p3){
    return (p2.x*p1.y + p3.x*p2.y + p1.x*p3.y - p3.x*p1.y - p1.x*p2.y - p2.x*p3.y) > 0 ? true : false;
}

int main(){
    int i, sign1, sign2, n;
    double area1, area2;
    cin >> n;
    for (i = 0; i < n; i++){
        cin >> point[i].x >> point[i].y;
        tiger[i].x = point[i].x;
        tiger[i].y = point[i].y;
    }
    cin >> tiger[i].x >> tiger[i].y;//老虎坐标
    stack<node> Q;
    sign1 = 0;
    posA = posB = point[0];
    //分别找到笼子，加入老虎坐标 的点集的最左下的点
    for (i = 1; i < n + 1; i++){
        if (i<n){
            if (posA.y == point[i].y&&posA.x>point[i].x || point[i].y < posA.y){
                posA = point[i];
                sign1 = i;
            }
        }
        else{
            posB = posA;
            sign2 = sign1;
            if (posB.y == tiger[i].y&&posB.x>tiger[i].x || tiger[i].y < posB.y){
                posB = tiger[i];
                sign2 = i;
            }
        }
    }
    swap(point[0], point[sign1]);
    swap(tiger[0], tiger[sign2]);
    sort(point + 1, point + n, cmp);//利用叉乘按点集离散化，方便筛选构成图凸包有效的点
    sort(tiger + 1, tiger + n + 1, cmp);
    Q.push(tiger[0]), Q.push(tiger[1]), Q.push(tiger[2]);

    for (i = 3; i < n + 1; i++){
        while (!Q.empty()){
            tmp = Q.top();
            Q.pop();
            if (turn_left(tmp, Q.top(), tiger[i])){
                Q.push(tmp);
                break;
            }
        }
        Q.push(tiger[i]);
    }
    //由于给出笼子必为凸包，直接计算面积
    area1 = area2 = 0;
    tmp = point[n - 1];
    area1 += (posA.x*tmp.y - posA.y*tmp.x) / 2.0;
    for (i = n - 2; i >= 0; i--){
        area1 += (tmp.x*point[i].y - tmp.y*point[i].x) / 2.0;
        tmp = point[i];
    }

    tmp = Q.top(), Q.pop();
    area2 += (posA.x*tmp.y - posA.y*tmp.x) / 2.0;
    while (!Q.empty()){
        area2 += (tmp.x*Q.top().y - tmp.y*Q.top().x) / 2.0;
        tmp = Q.top();
        Q.pop();
    }
    printf("%s
", area1 == area2 ? "YES" : "NO");
    return 0;
}