[Swust OJ 247]--皇帝的新衣(组合数+Lucas定理)

题目链接：http://acm.swust.edu.cn/problem/0247/

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Description

在很久很久以前，有个臭美国王。一天，他得到了一件新衣，于是决定巡城看看老百姓的反应(囧)。于是他命令可怜的宰相数一下他有多少种巡城方案。 
城市是一个N*M的矩形，(N+1)*(M+1)条街把城市分成了N*M块。国王从左下角出发，每次只能向右或向上走，右上角是终点。 
请你帮帮可怜的宰相。

 

Input

每组测试数据有3个值 n m p(0< n <=1000000000,0 < m <=1000000000，p为质数且p<400). 

 

Output
多组测试数据 0 0 0结束。

输出方案数 因为数据太大 请 mod p

 

Sample Input

2 3 97

20 40 37

0 0 0

Sample Output

10

32

 

Hint

2009暑期ACM集训组队赛《一》 -- 剑问苍生

 

解题思路：从左下角到右上角的方案数，那么(假设方阵大小n*m)

　　　　　(1)向上必须移动n格，向右必然移动m格

　　　　　(2)只需要以向上或向右移动为基准求C(n+m) n 或者C(n+m) m的组合数即可，好好想想为什么吧~~~~

　　　　　　  可以有一个优化组合数上面的去n,m中的较小值(组合数性质)

　　　　　(3)发现n,m<=1000000000那么在求组合数的时候肯定会直接爆掉，那怕是在求的过程中不断MOD 数p，

　　　　　　　那么我们以p的上限值为界求组合数，运用Lucas定理求解

 

Lucas定理：(详情可以戳戳这里：http://www.cnblogs.com/zyxStar/p/4588362.html)

　　　　　　Lucas定理用来求C（a,b）mod p的值,其中p为素数。
　　　　　　数学表达式为：
　　　　　　Lucas(a,b,q)=C(a%q,b%q)*Lucas(a/p,b/p,p);
　　　　　　Lucas(a,0,q)=0;

　　　　　　模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
　　　　　　(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
　　　　　　(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
　　　　　　(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
　　　　　　a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define maxn 405
using namespace std;
long long dp[maxn][maxn], n, m, p;
long long Lucas(long long n, long long m, long long p){
    //Lucas定理
    if (n <= p && m <= p)
        return dp[n][m];
    else
        return (Lucas(n / p, m / p, p)*dp[n%p][m%p]) % p;
}

//杨辉三角求组合数
void init(){
    int i, left, right;
    for (i = 1; i <= p; i++){
        dp[i][0] = dp[i][i] = 1;
        left = 1, right = i - 1;
        while (left <= right){
            dp[i][left] = (dp[i - 1][left - 1] + dp[i - 1][left]) % p;
            dp[i][right--] = dp[i][left++];//组合数性质dp[i][j]=dp[i][i-j];
        }
    }
}
int main(){
    while (cin >> n >> m >> p && n && m && p){
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        init();
        cout << Lucas(n + m, min(n, m), p) << endl;
    }
    return 0;
}

乱搞的Java代码如下：

import java.math.*;
import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main{
    static int DP[][] = new int[401][401];
    static int p;
    public static void main(String[] args)
    {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        int a, b;
        while (cin.hasNext()){
            a = cin.nextInt();
            b = cin.nextInt();
            p = cin.nextInt();
            if (a == 0)
                break;
            initDp();
            System.out.println(sloveRe(a + b, b > a ? a : b));
        }
    }
    private static void initDp(){
        int i, j;
        for (i = 0; i <= p; i++){
            DP[i][0] = 1;
        }
        for (i = 1; i <= p; i++){
            for (j = 1; j <= p; j++){
                DP[i][j] = (DP[i - 1][j] + DP[i - 1][j - 1]) % p;
            }
        }
    }
    private static int sloveRe(int n, int m){
        if (n <= p&&m <= p)
            return DP[n][m];
        else
            return  (sloveRe(n / p, m / p)*DP[n%p][m%p]) % p;
    }
}