2018-2019-1 20189206 《深入理解计算机系统》第二章学习笔记

2018-2019-1 20189206 《深入理解计算机系统》第五周学习总结

教材学习内容总结

本章主要研究三种重要的数字表示，分别是无符号编码、补码编码和浮点数编码。其中，无符号编码表示大于或等于零的数字，补码编码用来表示有符号整数，浮点数编码是科学计数法的以2为基数的版本。

第二章 信息的表示和处理

信息存储的方式

1. 最小可寻址的内存单位————8位的块，也称为字节
2. 机器级程序将内存视为一个非常大的数组，称为虚拟内存
3. 内存的每个字节都由唯一的数字来表示，称为地址

十六进制表示方式

1. 一个字节的
   对应的二进制表示为 (00000000_2 至 11111111_2)
   对应的十进制表示为 (0_{10} 至 255_{10})
   对应的十六进制表示为 (00_{16} 至 FF_{16})（以0x或者0X开头的数字为十六进制表示）

2. 特殊的转换方法

   当值x是2的非负整数的n次幂时即 $$x=2^n$$ 可以将x写成1后面加n个0的形式。
   当n表示为 n=i+4j 时（0<=i<=3），x对应的十六进制数字可以写成1、2、4、8后面跟J个0
   例如： $$ 512 = 2^9 $$ 知 n=1+2*4 故2048对应的16进制是 0x200

字数据大小

1. 每个计算机都有一个字长，用来指明指针数据的标称大小。 字长决定的最重要的系统参数就是虚拟地址空间的最大大小。对于一个字长为w的机器，虚拟地址的范围为$$ 0 至 2^w -1 $$程序最多访问2^w个字节。
2. 多字节对象被存储为连续的字节序列，对象的地址为使用字节中最小地址
   • 大端法：最高有效字节存储在前面（即先存储最高有效字节）
   • 小端法：最低有效字节存储在前面（先存储最低有效字节）
   • 假设0x01234567
     • 大端法存储为 01 23 45 67 （地址从左至右增大）
     • 小端法存储为 67 45 23 01 （地址从左至右增大）
3. linux32 Windows和linux64 均为小端机器，可以记为阅读顺序和存储顺序相反。

下面show_bytes函数的作用是打印出每个以十六进制表示的字节，其中输入是一个字节序列的地址。

void show_bytes(byte_pointer start,size_t len)
{
	size_t i;
	for(i=0;i<len;i++)
	{
		printf("%.2x",start[i]);
	}
	printf("
");
}

void show_int(int x)
{
	show_bytes((byte_pointer)&x,sizeof(int));
}

实现的功能就是输出int型每个字节对应的十六进制表示。

布尔代数

	布尔运算     逻辑运算    命题逻辑
	   ~          NOT        ┐
	   &          AND        ∧
       |          OR         ∨
       ∧         异或        ⊕

• 位级运算的常用用法是实现掩码运算，掩码表示从一个数中选出的位的集和。
  x & 0xFF 得到的结果就是x最低有效字节组成的值，其余字节被置0，之后表达式~0 得到的结果就是全为1 的掩码。

【注】注意区分C语言中的逻辑运算与位级运算

C语言的逻辑运算是|| &&和！，分别对应命题逻辑中的OR、AND和NOT运算。逻辑运算认为所有的非零值都为真，参数零表示假，运算结果只由0和1。

逻辑运算中如果第一个参数求值就能确定表达式的值，逻辑运算不会对第二个参数求值

位移运算

• 位移运算分为左移和右移
  • 左移 X向左移，丢弃最高的k位，并在右端补0
  • 右移 X向右移，丢弃最低的k位
    • 算数右移 在左端补k个最高有效位的值
    • 逻辑右移 在左端补0

几乎所有的编译器/机器组合都会对有符号数使用算数右移，而对于无符号数，右移必须是逻辑右移。

整数表示

无符号数只能表示非负数，而补码编码能够表示负数、0和正数。

• 无符号数的编码

  • 无符号数的定义
    对于向量 $$ vec{x} = [x_{w-1},x_{w-2},cdots,x_0] $$ 有

    [B2U_w (vec{x}) = sum_{i=0}^{w-1}x_i2^i ]

  • 无符号数所能表示的值的范围
    [0 0 …… 0] 到 [1 1 …… 1]即

    [UMax_w = sum_{i=0}^{w-1}2^i = 2^w-1 ]

  • 无符号编码的唯一性
    函数B2U是一个双射，将每一个长度为w的位向量，映射为0~2^w-1之间的唯一一个值，这种映射是一一对应的关系，即可以反向操作。

• 补码编码
  最常见的有符号数的计算机表示方式就是补码形式，这种形式下，将字的最高有效位解释为负权。

  • 补码编码的定义

  对于向量 $$ vec{x} = [x_{w-1},x_{w-2},cdots,x_0] $$ 有

  [B2T_w (vec{x}) = -x_{w-1}2^{w-1} + sum_{i=0}^{w-1}x_i2^i ]

  最高有效位称为符号位，符号位为1时，表示值为负数；符号值为0时，值为非负。

  • 补码所能表示的范围

  它能表示的最小值是[1 0 …… 0] 其整数值为 $$TMin_w = -2^{w-1} $$
  最大值为[0 1 …… 1] 其整数值为$$TMax_w = sum_{i=0}^{w-1}2i = 2^w-1$$

  • 补码有着与无符号数相同的双射函数
  • 最大无符号数刚好比补码的最大值的两倍大一$$UMax_w=2TMax_w + 1 $$

有符号数和无符号数之间的转换

• 强制类型转换的结果保持位不变，只是改变了解释这些位的方式。处理同样字长的有符号数和无符号数之间的转换一般规则是：数值可能会改变，但是位模式不变

• 补码转换为无符号数

对满足$$TMin_wleq x leq TMax_w $$的x有：

[T2U_w(x) =egin{cases} x+2^w & x <0 \ x & x geq 0 end{cases}]

从以上表达式可以看出，将一个有符号数转为它相应的无符号数时，负数就被转换成了大的整数，非负数则会保持不变。

• 无符号数转换为补码

对满足$$0 leq u leq UMax_w $$的x有：

[U2T_w(u) =egin{cases} u & x leq TMax_w \ u-2^w & u>TMax_w end{cases}]

从以上表达式可以看出，讲一个无符号数转换为补码时，U2T把大于2^w-1的数转化成了负数。

从上述两个公式可以看出，对于在范围$$ 0 leq x leq TMax_w $$的范围内的数字有着相同的补码和无符号数表示。对于这个范围以外的数需要加上或者减去2^w

• C语言中，当执行一个运算时，它的一个运算数是有符号的，另一个运算数是无符号的，那么C语言会将有符号数强制类型转换为无符号数，并假设这两个数都是非负的。

扩展一个数字位的表示

1. 将无符号数转换为一个更大的数据类型——零扩展
2. 将补码转换为一个更大的数据类型——符号扩展（添加最高有效位的值）

截断数字

1. 截断无符号数

令$$vec{x} = [x_{w-1},x_{w-2},cdots,x_0]$$ 现截断该位向量k位的结果是$$x' = x mod 2^k$$

2. 截断补码数值
   令$$vec{x} = [x_{w-1},x_{w-2},cdots,x_0]$$ 现截断该位向量k位的结果是$$x' = U2T_k（x mod 2^k）$$即把最高位的权重从正变为负。

整数运算

• 无符号加法
  定义无符号数加法，该操作是把整数和x+y截断为w位得到的结果，再把这个结果看作是一个无符号数。可以被看作是一种形式的模运算
  对于x、y满足$$ 0 leq x,y<2^w $$有：

[x + y =egin{cases} x+y & x+y leq 2^w \ x+y-2^w & 2^w leq x+y <2^{w+1} end{cases}]

当x+y的结果s小于x或者小于y的时候，可以判定无符号数的加法出现了溢出。

• 无符号数求反

模数加法形成了一个阿贝尔群，对于每个x值必定有有一个加法逆元。
对于满足$$ 0 leq x <2^w $$的任意x值，其无符号加法逆元为

[- x =egin{cases} x & x=0 \ 2^w-x & x>0 end{cases}]

• 补码加法
  对于满足$$-2^{w-1} leq x,y leq 2^{w-1}-1 $$的整数x和y 有

[x + y =egin{cases} x+y-2^w & 2^{w-1} leq x+y & 正溢出 \ x+y & -2^{w-1} leq x+y <2^{w-1} &正常\ x+y+2^w & x+y<-2^{w-1} & 负溢出 end{cases}]

• 补码的非
  对于满足$$ TMin_w leq x <TMin_w $$的任意x值，其补码的非为

[- x =egin{cases} TMin\_w & x=TMin\_w \ -x & x>TMin\_w end{cases}]

• 无符号和补码乘法
  将一个数截断w就等价于计算该值的模2^w
  对于无符号和补码乘法来说，乘法运算的位级表示都是一样的。

• 乘以常数

由于在大多数机器上，整数乘法的指令需要10个或者更多的时钟周期，其他整数运算只需要1个时钟周期。编译器使用了优化，试着用位移和加法的运算组合代替乘以常数因子的乘法。
原理： 设x的位模式为 ([x_{w-1},x_{w-2},cdots,x_0])表示无符号整数，那么对于任何$k leq 0 $都认为 ([x_{w-1},x_{w-2},cdots,x_0,0,0,cdots,0]) 给出了 (x*2^k) 的w+k位的无符号表示，右边增加了k个0。
可以看出，左移一个数值相当于执行一个与2的幂相乘的无符号乘法

例如：一个程序包含表达式 x*14 利用 $14 =2³⁺²2+2^1 $ 可以将该乘法重写(x<<3)+(x<<2)+(x<<1),将一个乘法替换为位移和两个加法。
或者利用 $14 =2^4-21 $ 重写成 (x<<4)-(x<<1)

• 除以2的幂
  • 除以2的幂的无符号除法
    假设有无符号数值x和k，且 $0 leq k <w $ 则表达式 x>>k 产生结果(lfloor x/2^k floor)
  • 除以2的幂的补码除法
    假设有补码数值x和无符号数值k，且 $0 leq k <w $ 则表达式执行算术位移 x>>k 产生结果(lfloor x/2^k floor)

浮点数

• 二进制小数
  表示方法：$ b_m b_{m-1} cdots b_1 b_0.b_{-1} b_{-2} cdots b_{-n} $
  这个表达描述的定义如下：

[b = sum_{i=-n}^{m}2^i*d_i ]

• IEEE浮点表示

  • 浮点标准用$$ V= (-1)^s * M * 2^E $$ 来表示一个数

    • 符号：s决定了这个数是负数（s=1）还是正数（s=0）
    • 尾数：M是一个二进制小数，范围是1~2-ε 或者 0~1-ε
    • 阶码：E的作用是对浮点数加权，这个权重是2的E次幂

  • 将浮点数的位表示划分为3个字段，分别对这些值编码

    • 一个单独的符号位s
    • k位的阶码字段(exp=e_{k-1} cdots e_1 e_0)编码阶码E
    • n位的小数字段$frac=f_{n-1} cdots f_1 f_0 $编码尾数M

  • 规格化的值

    • exp的位模式不会全为0或全为1 阶码字段被表示为以偏置形式表示的有符号整数。E= e-bias e为无符号数 (bias=2^{k-1}-bais)
    • 小数字段frac，尾数定义为M=1+f

  • 非规格化的值

    • 阶码E全为0时是非规格化的形式，此时 E=1-Bias 尾数值M=f

  • 特殊值

    • 阶码全为1时，得到的值表示无穷

【注】浮点运算只由有限的范围和精度，并且不遵守结合律。

总结

本章重点在于用数学公式准确定义出计算机中使用的几种数据类型，内容很多，需要好好总结和复习。通过直接操作数字级的位表示，得到了几种算数运算的方式。针对不同的机器，变量类型存储的大小也不同、存储方式不同，为了能使编写的程序在全部范围内正确工作，可以实现跨越不同的机器、操作系统和编译器的组合，对于这种数学原理的学习是十分重要的。
第二章主要从信息存储的方式、整数表的方法（无符号编码、补码编码）以及相关操作、整数运算（无符号运算、补码运算）、浮点数（两种表示方式）等方面介绍了数据的存储表示方式，进行计算的结果等内容。