[数字信号处理]数字滤波器

数字滤波器的分类

经典滤波器

输入信号中有用的频率成分和洗完滤除的成分个占有不同的频带,通过滤波器选频实现滤波目的

如高通滤波器,带通滤波器,低通滤波器等等

现代滤波器

信号和干扰的频谱会相互重叠,需要根据随机信号的统计特性,在某种准则下最大限度地抑制干扰,恢复信号,达到滤波目的.

数字滤波器类型快速判断方法

1. 写出系统幅频特性函数(|H(e^{jomega})|=|H(z)|Big|{z=e^{jomega_0}})
2. 令(omega_0=0,pi)等特殊值,计算出(|H(e^{jomega_0})|)
   1. 当(omega_0=0)时,(|H(e^{jomega_0})|>1),低通
   2. 当(omega_0=0)时,(|H(e^{jomega_0})|)很小并且当(omega_0=pi)时,(|H(e^{jomega_0})|>1),高通
   3. 当(omega_0=0,pi)时,(|H(e^{jomega_0})|)很小并且当(omega_o=frac{pi}{2})时,(|H(e^{jomega_0})|>1),带通

IIR滤波器

无线长脉冲响应数字滤波器,系统响应函数为

[H(z)=frac{sum_{j=0}^{M}b_jz^{-j}}{1+sum_{k=0}^{N}a_kz^{-k}} ]

滤波器的阶数由分母的阶数决定,公式中分母的最小次幂是(-n).

此之谓N阶IIR滤波器

直接法设计

利用数值计算的方法设计

间接法设计

借助模拟滤波器设计方法,先设计出连续系统函数,再转换成离散的系统函数.

一般步骤:

1. 借助模拟滤波器设计方法设计滤波器的系统函数(H_a(s))
2. 连续系统的系统函数(H_a(s))转换成离散系统的系统函数(H(z))

连续系统函数转换成离散系统函数的方法

脉冲响应不变法

拉普拉斯变换和z变换的关系

[连续系统的极点s=delta+jOmega\ 离散系统的极点z=e^{jomega}\ z=e^{sT} ]

公式

[H(z)=sum_{i=1}^{N}frac{TA_i}{1-e^{s_iT}z^{-1}}\ 1)e^{s_iT}是H_a(s)中每个s域极点转换成z域极点\ 2)A_i是H_a(s)部分分式展开的各项系数\ 3)有基本z变换对frac{1}{1-az^{-1}}->a^nu(n)可知\ frac{1}{1-e^{s_iT}z^{-1}}->e^{s_iTn}u(n)\ 4)T是采样间隔,其作用在于避免T过小时|H(e^(jomega))|过大,一般可以T=1 ]

例子:

[H_a(s)=frac{1}{s+0.9}\ 他的极点s=-0.9\ 离散系统的极点就是z=e^{-0.9T}\ H(z)=frac{1}{1-e^{-0.9T}z^{-1}} ]

脉冲响应不变法有以下局限性

脉冲响应不变法要求严格带限,股不能设计高通滤波器和带阻滤波器

连续系统的系统函数必须能够部分分式分解,才能采用脉冲响应不变法

双线性变换法

使得模拟频率(Omega)和数字频率(omega)的映射关系为单值映射关系

可以消除数字频率(omega)附近的频谱混叠现象.

[s和z的关系:s=frac{2}{T}cdotfrac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\ 频率变换:Omega=frac{2}{T}tanfrac{omega}{2} ]

FIR滤波器

有限长脉冲响应滤波器,系统响应函数为

[H(z)=sum_{n=0}^{N-1}h(n)z^{-n} ]

此之谓N-1阶FIR滤波器

设计

利用窗函数法,频率采样法和切比雪夫等波纹逼近方法设计

不能采用间接法