数论二·Eular质数筛法

描述

小Ho：小Hi，上次我学会了如何检测一个数是否是质数。于是我又有了一个新的问题，我如何去快速得求解[1,N]这个区间内素数的个数呢？

小Hi：你自己有什么想法么？

小Ho：有！我一开始的想法是，自然我们已经知道了如何快速判定一个数是否是质数，那么我就直接将[1,N]之间每一个数判定一次，就可以得到结果。但我发现这个方法太笨了。

小Hi：确实呢，虽然我们已经通过快速素数检测将每一次判定的时间复杂度降低，但是N个数字的话，总的时间复杂度依旧很高。

小Ho：是的，所以后来我改变了我的算法。我发现如果一个数p是质数的话，那么它的倍数一定都是质数。所以我建立了一个布尔类型的数组 isPrime，初始化都为true。我从2开始枚举，当我找到一个isPrime[p]仍然为true时，可以确定p一定是一个质数。接着我再将N以内 所有p的倍数全部设定为isPrime[p*i]=false。

写成伪代码为：

isPrime[] = true
primeCount = 0
For i = 2 .. N
	If isPrime[i] Then
		primeCount = primeCount + 1
		multiple = 2
		While (i * multiple ≤ N)
			isPrime[i * multiple] = false
			multiple = multiple + 1
		End While 
	End If
End For
  

小Hi：小Ho你用的这个算法叫做Eratosthenes筛法，是一种非常古老的质数筛选算法。其时间复杂度为O(n log log n)。但是这个算法有一个冗余的地方：比如合数10，在枚举2的时候我们判定了一次，在枚举5的时候我们又判定了一次。因此使得其时间复杂度比O(n)要 高。

小Ho：那有没有什么办法可以避免啊？

小Hi：当然有了，一个改进的方法叫做Eular筛法，其时间复杂度是O(n)的。

提示：Eular质数筛法

输入

第1行：1个正整数n，表示数字的个数，2≤n≤1,000,000。

输出

第1行：1个整数，表示从1到n中质数的个数

样例输入

9

样例输出

4

思路{
　　前天晚自习时看刘汝佳紫书看见一种玄学复杂度的log筛法（然而我并不会证明。。。。。）
　　居然比正解线性筛快了14ms @zjo。。。。。。
}
呐线性筛

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#define MAXX 1000001
using namespace std;
int in[MAXX],ans,n;
bool ha[MAXX];
int main(){
  scanf("%d",&n);
  for(int i=2;i<=n;++i){
    if(!ha[i])in[++ans]=i;
    for(int j=1;j<=ans;++j){
      if(in[j]*i>n)break;
      ha[in[j]*i]=true;
      if(!(i%in[j]))break;
    }
  }printf("%d",ans);
  return 0;
}

呐我神奇的刘汝佳log筛

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#define MAXX 1000001
using namespace std;
long long n,m,ans;
bool in[MAXX];
int main(){
  scanf("%lld",&n);
  for(long long i=2;i<=n;++i)if(!in[i]){
      ans++;
      for(long long j=i*i;j<=n;j+=i)in[j]=true;
    }printf("%lld",ans);
  return 0;
}