九余数定理(同余定理)

我们都知道对于十进制数，只要这个数能除尽3/9则他个位数字之和也能除尽3/9,以前只知道用没有证明过，下面来简单证明一下。

对于十进制数，举个简单的例子，这个数是abcd,他表示的大小就是 x=1000*a+100*b+10*c+d ,

我们对他进行转化 x=999*a+99*b+9*c+(a+b+c+d)

                              x=9(99*a+9b+c)+(a+b+c+d)

因为9一定能除尽3和9，所以对于x，只要(a+b+c+d)能除尽3和9，则x也能除尽3和9.

上面只是举了一个数，下面来针对任意进制P(P>2)证明,

假设一个n位的P进制数x是   a_na_n-1a_n-2.......a₃a₂a₁

则x=a_n*P^n-1+a_n-1*P^n-2+a_n-2*P^n-3+......+a₃*P²+a₂*P¹+a₁*P⁰.

类似于上面的操作，我们凑出来一个各位数之和，

x=(a_n*(P^n-1-1)+a_n-1*(P^n-2-1)+a_n-2*(P^n-3-1)+......+a₃*(P²-1)+a₂*(P¹-1))+(a₁+a₂+a₃+......a_n-2+a_n-1+a_n)

观察发现Pⁿ-1=(P^n-1-1)*P+(P¹-1)  ^(n>=2) 展开后发现所有的项都含有(P-1),也就是说Pⁿ-1一定能除尽(P-1),所以也能除尽P-1的因子，

所以对于任意的(P-1)得因子q，只要各位数之和(a1+a2+......+an)能除尽q，那么x也能除尽q。

学习了同余方程后发现，也能用同余来解释，

例如 417≡4*10*10+1*10+7≡4*1*1+1*1+7≡4+1+7      (mod 3)

对于P进制数anan-1......a2a1≡an*P^n-1+an-1*P^n-2......+a2*P+a1  (mod B)

对于上面的式子显然，当P mod B为1的时候，上式就可化简为≡an*1*1...+an-1*1*1....+a2*1+a1  mod(B)

所以此时这个P进制数模B后的值就等于各位数字和模B后的值，前提是P%B=1-->(P-1)%B=0,也就是P-1的因子