51nod-1259-分块+dp

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  1259 整数划分 V2

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题

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将N分为若干个整数的和，有多少种不同的划分方式，例如：n = 4，{4}  {1,3}  {2,2}  {1,1,2} {1,1,1,1}，共5种。由于数据较大，输出Mod 10^9 + 7的结果即可。

Input

输入1个数N(1 <= N <= 50000)。

Output

输出划分的数量Mod 10^9 + 7。

Input示例

4

Output示例

5

  与1201相似但是允许出现重复的数，如果还按照1201的写法，复杂度就是平方级了，看了讨论的解法感觉很巧妙。
  利用分块将数据分成了[1,sqrt(n)],[sqrt(n)+1,n]两部分，分别用f[i][j]和g[i][j]表示用区间内的数j个组合成和为i的数的方案个数，计算f时无限背包，计算g时使用1201的
方程计算（注意这里的区间最小的值是sqrt(n+1）)。最后用乘法原理计算答案ans=SUM{f[n][i]*h[n-i]},其中0<=i<=n,h[i]表示g[i][..]的总和。注意乘法时候会爆int使用longlong就好了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
#define LL long long
int f[50005],g[50005][330];
int main()
{
    int n,i,j,k;
    cin>>n;
    f[0]=1;
    int m=sqrt(n*1.0);
    for(i=1;i<=m;++i)
        for(j=i;j<=n;++j)
     f[j]=(f[j]+f[j-i])%mod;
     
     g[0][0]=1;
     g[m+1][1]=1;
    for(i=m+1;i<=n;++i)
    {
        int k=i/(m+1);
        for(j=1;j<=k;++j)
        {
            if(i+j<=n){
            g[i+j][j]=(g[i+j][j]+g[i][j])%mod;
            }
            if(i+m+1<=n){
            g[i+m+1][j+1]=(g[i+m+1][j+1]+g[i][j])%mod;
            }
            g[i][0]=(g[i][0]+g[i][j])%mod;
        }
    }
    LL ans=0;
    for(i=0;i<=n;++i)
        ans=(ans+(LL)f[i]*g[n-i][0]%mod)%mod;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}