最小质因数和

这题实在是比较一棵赛艇就发上来好了。

题目：

给定n，求出小于等于n的所有合数的最小质因数之和。

对于70%的数据，n<=10^7。

对于100%的数据，n<=10^9。

题解：

70% 线筛大法好

100%

首先我们考虑对于每一个小于等于sqrt(n)的质数容斥，然后稍微推一推就可以得到一个比较靠谱的容斥方法，虽然复杂度玄学但是似乎跑得蛮快的。然后我们测一下时间……真是不巧n=10^9要跑2s左右。（我就是这么被卡掉的

标程是这样的：

我们定一个阀值k=100，对于<=k的质因数（一共也就才几十个）我们用科学的容斥搞一搞，这个复杂度基本没有。

对于>=k的质因数p我们可以发现n/p是在10^7以内的。然后为了保证质因数是最小的，我们必须只能选n不是<p质数的倍数的。那么我们发现n/p显然也要不是<p质数的倍数。

这样我们用一个暴力筛法来维护n/p，具体做法是因为p递增时n/p递减，那么我们考虑线筛的上界也是递减的，每次线筛赋值bool数组的时候顺便更新一下答案，减小上界的时候就把多的答案扣掉。既然1kw的暴力筛法可以过，这样显然是科学的。

n=10^9只要跑0.1s左右。事实上如果把k设成1000跑n=10^10也只要跑0.6s左右。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <time.h>
#include <limits>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;
int sq,n;
#define FJ 100 //1000?
#define ZS 10000005
bool yz[ZS+3];
int mn=ZS,cnt=0;
bool isprime(int x)
{
    for(int p=2;p*p<=x;p++)
    {
        if(x%p==0) return 0;
    }
    return 1;
}
int pn=0,ps[233333];
long long ans=0;
void dfs(int x,int lst,int dep)
{
    if(lst!=0)
    {
        ans+=n/x*(long long)ps[lst]*dep;
        if(x==ps[lst]) ans-=x;
    }
    for(int i=lst+1;i<=pn;i++)
    {
        if(ps[i]<=FJ&&(long long)x*ps[i]<=n) dfs(x*ps[i],i,-dep);
        else break;
    }
}
void xj(int p)
{
    while(mn>p) cnt-=yz[mn--];
}
void pj(int p)
{
    for(int j=p;j<=mn;j+=p)
    {
        if(yz[j]) continue;
        yz[j]=1; ++cnt;
    }
}
#define FO(x) {freopen(#x".in","r",stdin);freopen(#x".out","w",stdout);}
int main()
{
    //FO(prime)
    scanf("%d",&n);
    sq=sqrt(n)+1;
    int cc=0;
    for(int i=2;i<=sq;i++)
    {
        if(isprime(i)) ps[++pn]=i;
    }
    dfs(1,0,-1);
    for(int i=1;i<=pn;i++)
    {
        int cur=ps[i];
        if(cur>FJ)
        {
            xj(n/cur);
            ans+=(n/cur-cnt-1)*(long long)cur;
        }
        pj(cur);
    }
    printf("%lld
",ans);
}

嗯今天闫神还立了一个flag，说不会求质数的答案。那我们就是要求n以内质数的和。

丢链接跑 http://mathoverflow.net/questions/81443/fastest-algorithm-to-compute-the-sum-of-primes