感谢wys和小火车普及这些技巧qwq 这篇文章大概没什么营养
我们来看一道十分简单的题目：
设n=131072，输入两个长度为n的数列$a_0,a_1...a_{n-1}$和$b_0,b_1...b_{n-1}$，要求输出一个长度为n的数列$c_0,c_1...c_{n-1}$ 。
其中$c_i=max(a_j+b_{i-j})~(0 leq j leq i)$ ，$1 leq a_i, b_i leq 10^9$ 。
首先我们来讲讲这题怎么做。
如果数据是随机的，那么有一种神奇的做法：在a和b中分别挑出最大的p个元素，对于每个i暴力枚举每个p进行更新，这样的复杂度是O(np)的，正确性我不会分析= =
那么数据不是随机的...那么估计没有什么快速的算法，不如暴力！
以下的运行时间均为在我的渣渣笔记本中测试得到，仅供参考。测试环境Ubuntu，编译选项只有-O2。
0.
#define SZ 666666 int a[SZ],b[SZ],c[SZ]; const int n=131072; int main() { for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",a+i); for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",b+i); for(int i=0;i<=n;i++) { for(int j=0;j<=i;j++) c[i]=max(c[i],a[j]+b[i-j]); } for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",c[i]);puts(""); cerr<<clock()<<"ms "; }
simple and stupid。我们来测试一下...跑了8s。虽然不是太糟，但是还是很慢...我们来进行一波有理有据的常数优化吧。
1. 加上输入输出优化
const int n=131072; char ch,B[1<<20],*S=B,*T=B; #define getc() (S==T&&(T=(S=B)+fread(B,1,1<<20,stdin),S==T)?0:*S++) #define isd(c) (c>='0'&&c<='9') int aa,bb;int F(){ while(ch=getc(),!isd(ch)&&ch!='-');ch=='-'?aa=bb=0:(aa=ch-'0',bb=1); while(ch=getc(),isd(ch))aa=aa*10+ch-'0';return bb?aa:-aa; } #define gi F() #define BUFSIZE 5000000 namespace fob {char b[BUFSIZE]={},*f=b,*g=b+BUFSIZE-2;} #define pob (fwrite(fob::b,sizeof(char),fob::f-fob::b,stdout),fob::f=fob::b,0) #define pc(x) (*(fob::f++)=(x),(fob::f==fob::g)?pob:0) struct foce {~foce() {pob; fflush(stdout);}} _foce; namespace ib {char b[100];} inline void pint(int x) { if(x==0) {pc(48); return;} //if(x<0) {pc('-'); x=-x;} //如果有负数就加上 char *s=ib::b; while(x) *(++s)=x%10, x/=10; while(s!=ib::b) pc((*(s--))+48); } int main() { for(int i=0;i<n;i++) a[i]=gi; for(int i=0;i<n;i++) b[i]=gi; for(int i=0;i<=n;i++) for(int j=0;j<=i;j++) c[i]=max(c[i],a[j]+b[i-j]); for(int i=0;i<n;i++) pint(c[i]),pc(' ');pc(10); cerr<<clock()<<"ms "; }
虽然看起来只有10w多个数，我们还是加一波输入输出优化试试...
居然跑了10s。比原来还慢...这和预期不太相符啊...在windows上加了输入输出确实会变快，但是ubuntu下变慢了...大概输入输出少的时候最好还是不要加优化？
以下的测试全部基于输入输出优化，就假装加了优化跑的更快好了。
2. 手写stl
虽然这段代码非常短，但是我们还是使用了一个stl：max。我们来常数优化一波！
for(int i=0;i<=n;i++) for(int j=0;j<=i;j++) if(a[j]+b[i-j]>c[i]) c[i]=a[j]+b[i-j];
测了测，跑了5.3s，比原来快了快一半！可喜可贺。
3. 把if改成三目？
这时候我想起了wys的教导：少用if，多用三目。
for(int i=0;i<=n;i++) for(int j=0;j<=i;j++) (a[j]+b[i-j]>c[i]) ?(c[i]=a[j]+b[i-j]):0;
这样写跑了6.1s，居然比if还慢？
有理有据的分析：正常情况下，if改成三目会变快的原因是因为消除了分支预测，分支预测错误跳转的代价很大，而上面那段代码预测错误几率很小，所以if就比较快了。
4. 循环展开
为了写起来方便，首先我们将b数组反序，这样可以减少运算量，接下来把内层j循环展开。
int main() { for(register int i=0;i<n;i++) a[i]=gi; for(register int i=0;i<n;i++) b[n-i]=gi; for(register int i=0;i<n;i++) { int*r=b+n-i; for(register int j=0;j<=i;j+=8) { #define chk(a,b,c) if(a+b>c) c=a+b; #define par(p) chk(a[p],b[p],c[i]) par(j) par(j+1) par(j+2) par(j+3) par(j+4) par(j+5) par(j+6) par(j+7) } } for(register int i=0;i<n;i++) pint(c[i]),pc(' ');pc(10); cerr<<clock()<<"ms "; }
这样理论上cpu可以对中间的代码乱序执行，就是一次执行很多条，从而提高运行速度。
实测优化效果非常好，只跑了2.9s，比原来快了1倍多。
此外我还了解到openmp和cache blocking这两种优化方法，但是对程序提速不明显，这里就不提了，有兴趣的自行度娘。
5. Intrinsic
这是真正的黑科技了= =orz小火车
#include "immintrin.h" #include "emmintrin.h" static __m256i a_m[SZ],b_m[8][SZ]; static int a[SZ],b[SZ],c[SZ]; __attribute__((target("avx2"))) inline int gmax(__m256i qwq) { int*g=(int*)&qwq,ans=0; (g[0]>ans)?(ans=g[0]):0; (g[1]>ans)?(ans=g[1]):0; (g[2]>ans)?(ans=g[2]):0; (g[3]>ans)?(ans=g[3]):0; (g[4]>ans)?(ans=g[4]):0; (g[5]>ans)?(ans=g[5]):0; (g[6]>ans)?(ans=g[6]):0; (g[7]>ans)?(ans=g[7]):0; return ans; } __attribute__((target("avx2"))) int main() { const int n=131072; memset(a,-127/3,sizeof(a)); memset(b,-127/3,sizeof(b)); for(register int i=0;i<n;i++) a[i]=gi; for(register int i=0;i<n;i++) b[n-i]=gi; for(register int i=0;i<=n+5;i+=8) a_m[i>>3]=_mm256_set_epi32 (a[i],a[i+1],a[i+2],a[i+3], a[i+4],a[i+5],a[i+6],a[i+7]); for(register int r=0;r<8;++r) for(register int i=0;i<=n+67;i+=8) b_m[r][i>>3]=_mm256_set_epi32 (b[i+r],b[i+1+r],b[i+2+r],b[i+3+r], b[i+4+r],b[i+5+r],b[i+6+r],b[i+7+r]); __m256i zero=_mm256_set_epi32(0,0,0,0,0,0,0,0); for(register int i=0,lj;i<n;i++) { __m256i*r=b_m[(n-i)&7]+((n-i)>>3), qwq=zero; lj=(i>>3); for(register int j=0;j<=lj;j+=8) { #define par(p) qwq=_mm256_max_epi32( qwq,_mm256_add_epi32(a_m[p],r[p])); par(j) par(j+1) par(j+2) par(j+3) par(j+4) par(j+5) par(j+6) par(j+7) } c[i]=gmax(qwq); } for(register int i=0;i<n;i++) pint(c[i]),pc(' ');pc(10); cerr<<clock()<<"ms "; }
这段代码有点长，这里解释一下原理。
大家都知道stl中有一个很好用的库叫bitset，它的原理是将32/64个bit（取决于字长）压成一个数（long），从而使常数/=32或64。
在intel部分指令集中，有类似的数据类型，可以将多个int/float/double等等压在一个128/256/512位的数据类型里，从而一起进行计算。
大致有三种数据类型：
__m128i __m256i __m512i
分别对应压在128/256/512位内。
我们可以对这三种数据类型中压的数进行并行计算！例如一个__m256i里可以包8个int。这些数据类型的方法有点多，intel提供了一个可以查找这些方法的页面：https://software.intel.com/sites/landingpage/IntrinsicsGuide/
实现起来相当于手写bitset，细节详见代码吧。
这段代码只跑了1.4s！又比循环展开快了一倍。
我实测了一下，在uoj上__m256i无法使用，__m128i只能使用部分指令，例如_mm_max_epi32这个指令就不支持......洛谷上可以正常运行。
upd：一些卡常方面的tips：
register基本没用。
全局数组开static（有可能）可以放进L1~L3，明显加快速度。
多维数组后面几维别开2的次幂，可能导致cache miss。
inline的速度比手动展开或__attribute__((always_inline))慢。
一般什么卡常都比不上输入输出优化效果好= =