hdu 4549 M斐波那契数列(快速幂 矩阵快速幂 费马小定理)

题目链接http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4549；

题目是中文的很容易理解吧。可一开始我把题目看错了，这毛病哈哈。 一开始我看错题时，就用了一个快速幂来解，不用说肯定wa,看题目的通过率也不高，我想会不会有啥坑啊。然而我就是那大坑，哈哈。

不说了，直接说题吧，先讨论k=1,2,3;时的解。这应该会解吧，不多说了；

从第四项开始f(4)=a^1+b^2;f（5）=a^2+b^3;f(6)=a^3+b^5......; 看出来了吧，a上的指数成斐波那契数列，b的也成，而且a的指数是b的前一项；

那么就打表求斐波那契数列呗，不敢，范围太大，又爆内存又超时的。

f(n)=a^k(n-4)+b^k(n-3);其中n>=4;k(0)=1;k(1)=2;

用矩阵来求斐波那契数列的相邻两项有[k[n-2],k[n-1]]*[0 1]

                                                                  [1 1]

上式等于[k[n-1],k[n]];

那么要求[k[n-4],k[n-3]]=[1,2]*[0 1]^(n-3)

                                         [1 1]

这样就可以用矩阵快速幂来求k[n-4],k[n-3]了；

但光这样还不够，在矩阵快速幂过程中还得取模，不然会溢出。

由费马小定理在p为素数的情况下对任意的整数x都有x^p==x(mod p)

;如果x不能被p整除有x^(p-1)=1(mod p);由于a,b<1e9;所以不能被1e9+7整除， 求出了k[n],则a^k[n]%p=a^(k[n]%(p-1))%p;

证明如下： k[n]=m*(p-1)+d;那么a^k[n]%p=a^[(m*(p-1))+d]%p=(a^[m*(p-1)]%p*a^(d)%p)%p;

由费马小定理可知a^(m*(p-1))%p=1; 而d=k[n]%(p-1);得证；

所以矩阵快速幂时要对1e+6取模就行了； 当k(n)求出来是再进行快速幂运算就可以了，复杂度为2*log2(n); 注意要开longlong不然会溢出。

下面看代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
const long long N=1e9+7;
const long long M=1e9+6;
typedef long long ll;
void kk(ll y);
ll pp(ll x,ll y);
ll b[2][2];
ll a[2][2];
using namespace std;
int main(void)
{
    ll i,j,k,p,q,n,m;

    while(scanf("%lld%lld%lld",&p,&q,&k)!=EOF)
    {
        if(k==0)
        {
            printf("%lld
",p%N);

        }
        else if(k==1)
        {
            printf("%lld
",q%N);

        }
        else if(k==2)
        {
            printf("%lld
",(p%N*q%N)%N);
        }
        else
        {
            k=k-3;
            kk(k);
            ll p1=(b[0][0]%M+2*b[1][0]%M)%M;//求的k(n-4)
            ll p2=(b[0][1]%M+2*b[1][1]%M)%M;//k[n-3]
            ll x1=pp(p,p1);//a^k(n-4);
            ll x2=pp(q,p2);//b^k(n-3);
            ll dd=(x1*x2)%N;//d=(a^k(n-4)*b^k(n-3))%N;
            printf("%lld
",dd);

        }

    }

    return 0;

}

ll pp(ll x,ll y)//快速幂
{
    ll p=x;
    ll q=1;

    while(y)
    {
        if(y&1)
        {
            q=(q%N*p%N)%N;
        }
        p=(p%N*p%N)%N;

        y=y/2;
    }
    return q;

}


void kk(ll y)//矩阵快速幂  形式和快速幂基本一样。
{
    ll i,j,k;
    ll x1,x2,x3,x4;
    a[0][0]=0;//a为变换矩阵；
    a[0][1]=1;
    a[1][0]=1;
    a[1][1]=1;
    b[0][0]=1;//b为单位阵；
    b[0][1]=0;
    b[1][0]=0;
    b[1][1]=1;

    while(y)
    {
        if(y&1)
        {
            x1=((b[0][0]*a[0][0])%M+(b[0][1]*a[1][0])%M)%M;
            x2=((b[0][0]*a[0][1])%M+(b[0][1]*a[1][1])%M)%M;
            x3=((b[1][0]*a[0][0])%M+(b[1][1]*a[1][0])%M)%M;
            x4=((b[1][0]*a[0][1])%M+(b[1][1]*a[1][1])%M)%M;
            b[0][0]= x1;
            b[0][1]=x2;
            b[1][0]=x3;
            b[1][1]=x4;
        }
        x1=((a[0][0]*a[0][0])%M+(a[0][1]*a[1][0])%M)%M;
        x2=((a[0][0]*a[0][1])%M+(a[0][1]*a[1][1])%M)%M;
        x3=((a[1][0]*a[0][0])%M+(a[1][1]*a[1][0])%M)%M;
        x4=((a[1][0]*a[0][1])%M+(a[1][1]*a[1][1])%M)%M;
        a[0][0]=x1;
        a[0][1]=x2;
        a[1][0]=x3;
        a[1][1]=x4;
        y/=2;

    }




}