62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

 例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths

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思路：

一种与上一题类似，每次都记录到当前位置的有几种叠加

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[] dp = new int[n];
        Arrays.fill(dp, 1);
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[j] = dp[j] + dp[j - 1];
            }
        }
        return dp[n - 1];
    }
}

另一种用排列组合的方法

这是一个组合问题。机器人总共移动的次数 S=m+n-2，向下移动的次数 D=m-1，那么问题可以看成从 S 中取出 D 个位置的组合数量，这个问题的解为 C(S, D)。

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int S = m + n - 2;  // 总共的移动次数
        int D = m - 1;      // 向下的移动次数
        long ret = 1;
        for (int i = 1; i <= D; i++) {
            ret = ret * (S - D + i) / i;
        }
        return (int) ret;
    }
}