基本形式
线性回归非常直观简洁，是一种常用的回归模型，大叔总结如下：
设有样本(X)形如：
对应的标记(vec{y})形如：
其中，矩阵(X)的每一行表示一个样本，一共有m个样本；每列表示样本的一个属性，共有n个属性。设假设函数
设(x_0=1)，则(1)式重新写为
定义代价函数(均方误差)
即：
这里的分母乘以2并没有意义，只是为了求导后正好约掉。另外，其实求绝对值之和更直观，但是计算不方便，求平方后再求和效果是一样的，而且计算非常容易。我们的目标是根据样本数据求出使得代价函数取值最小的参数(vec heta)，均方误差越小，说明以(vec heta)为参数的线性函数拟合样本的能力越强
求解参数(vec heta)
梯度下降法
关于梯度下降法可参考 大叔学ML第一：梯度下降
由于代价函数是一个凸函数，可以用梯度下降法找到最小值。由于用到梯度，首先对( heta_0)、( heta_1)、( heta_2)直到( heta_n)求偏导：
- (frac{partial}{partial heta_0}j( heta_0, heta_1dots heta_n) = frac{1}{m}sum_{k=1}^m( heta_0x_0^{(k)} + heta_1x_1^{(k)} + dots+ heta_nx_n^{(k)} - y^{(k)})x_0^{(k)})
- (frac{partial}{partial heta_1}j( heta_0, heta_1dots heta_n) = frac{1}{m}sum_{k=1}^m( heta_0x_0^{(k)} + heta_1x_1^{(k)} + dots+ heta_nx_n^{(k)}- y^{(k)})x_1^{(k)})
- (dots)
- (frac{partial}{partial heta_n}j( heta_0, heta_1dots heta_n) = frac{1}{m}sum_{k=1}^m( heta_0x_0^{(k)} + heta_1x_1^{(k)} + dots+ heta_nx_n^{(k)}- y^{(k)})x_n^{(k)})
可归纳为：(frac{partial}{partial heta_n}j( heta_0, heta_1dots heta_n) = frac{1}{m}sum_{k=1}^m( heta_0x_0^{(k)} + heta_1x_1^{(k)} + dots+ heta_nx_n^{(k)}- y^{(k)})x_n^{(k)} ag{4})
万事俱备，现在可以编程了。创建一组测试数据，每组数据包括3个属性，我们来编码拟合出一个线性函数：
import numpy as np
def gradient(X, Y, m, theta):
''' 求theta位置的梯度.
Args:
X: 样本
Y: 样本标记
m: 样本数
theta: 欲求梯度的位置
Returns:
gi: theta处函数的梯度值
'''
theta_size = np.size(theta)
g = np.zeros(theta_size)
for i in range(theta_size):
gi = 0 #第i个theta分量对应的偏导
for j in range(m):
gi += ((np.dot(X[j], theta) - Y[j]) * X[j, i])
gi = gi / m
g[i] = gi
return g
def gradient_descent(X, Y, step = 0.02, threshold = 0.01):
''' 梯度下降法求使代价函数最小的 theta
Args:
X: 样本
Y: 样本标记
step:步长
threshold:梯度模长阈值，低于此值时停止迭代
Returns:
theta: 使代价函数取最小值的theta
'''
theta = np.random.rand(4)
grad = gradient(X, Y, np.size(X, 0), theta)
norm = np.linalg.norm(grad)
while(norm > threshold):
theta -= step * grad
grad = gradient(X, Y, np.size(X, 0), theta)
norm = np.linalg.norm(grad)
return theta
''' 以下是测试数据 '''
# 测试用线性函数
def linear_function(x1, x2, x3):
result = 1 + 2 * x1 + 3 * x2 + 4 * x3
result = result + np.random.rand() # 噪音
return result
# 计算函数值
def calculate(X):
rowsnumber = np.size(X, axis = 0)
Y = [linear_function (X[i, 0], X[i, 1], X[i, 2]) for i in range(0, rowsnumber)]
return Y
if __name__ == "__main__":
row_count = 500
X = np.random.randint(0, 10, (row_count, 3)) # 随机产生row_count个样本
Y = calculate(X) # 计算标记
X0 = np.ones((row_count, 1))
X = np.hstack((X0, X)) # 补充一列1
theta = gradient_descent(X, Y)
print('theta is ', theta)
运行结果：theta is [1.41206515 2.00558441 3.0013728 4.00684577]
上面的迭代方法被称为批量梯度下降法，参考式(4)，计算梯度时用到了所有的样本。梯度下降法还有个简化的版本，叫做随机梯度下降法，每次计算梯度时只随机使用一个样本，而不是所有样本，这样可以加快计算速度。将式(4)修改为：
其中：(1 leq k leq m)
将上面Python代码中的方法gradient替换一下：
def gradient_sgd(X, Y, m, theta):
''' 求theta位置的梯度.
Args:
X: 样本
Y: 样本标记
m: 样本数
theta: 欲求梯度的位置
Returns:
gi: theta处函数的梯度值
'''
theta_size = np.size(theta)
g = np.zeros(theta_size)
for i in range(theta_size):
random_Index = np.random.randint(1, m + 1)
gi = ((np.dot(X[random_Index], theta) - Y[random_Index]) * X[random_Index, i])
g[i] = gi
return g
运行结果：
theta is [1.43718942 2.00043557 3.00620849 4.00674728]
感觉像是飞起来。随机梯度下降法肯定没有批量梯度下降法准确，所有还有第三种下降法，叫做小批量梯度下降法，介于批量梯度下降法和随机梯度下降法之间，每次计算梯度使用随机的一小批样本，此处不再code说明。
正规方程导法
因为代价函数是个凸函数，那么我们可以对代价函数求导，让其导数等于0的点即为最小值点。
为方便计算，我们在前面增加了一个值恒等于1的(x_0)，这样就把线性函数的偏置项去掉了，参考式(2)，重新定义矩阵(X)为：
代价函数式(3)等价于：
化简式(6):
对(vec heta)求导：
令其等于0，得：$$vec heta=(X^TX)^{-1}X^Tvec{y} ag{7}$$
将上面的Python代码改为：
# 测试用线性函数
def linear_function(x1, x2, x3):
result = 1 + 2 * x1 + 3 * x2 + 4 * x3
result = result + np.random.rand() # 噪音
return result
# 计算函数值
def calculate(X):
rowsnumber = np.size(X, axis = 0)
Y = [linear_function (X[i, 0], X[i, 1], X[i, 2]) for i in range(0, rowsnumber)]
return Y
if __name__ == "__main__":
row_count = 500
X = np.random.randint(0, 10, (row_count, 3)) # 随机产生row_count个样本
Y = calculate(X) # 计算标记
X0 = np.ones((row_count, 1))
X = np.hstack((X0, X)) # 补充一列1
theta = np.dot(np.dot(np.linalg.pinv(np.dot(X.T, X)), X.T), np.array(Y).T)
print('theta is ', theta)
运行结果：theta is [1.49522638 1.99801209 2.99704438 4.00427252]
和梯度下降法比较，光速的感觉，那为什么还要用梯度下降法呢？这是因为求矩阵的逆算法复杂度较高，达爷的建议是：如果样本的属性超过一万个，考虑使用梯度下降法。
调用函数库
其实我们也可以直接调用类库的，有很多类库可以做回归算法，比如：
import numpy as np
from sklearn import linear_model
# 测试用线性函数
def linear_function(x1, x2, x3):
result = 1 + 2 * x1 + 3 * x2 + 4 * x3
result = result + np.random.rand() # 噪音
return result
# 计算函数值
def calculate(X):
rowsnumber = np.size(X, axis = 0)
Y = [linear_function (X[i, 0], X[i, 1], X[i, 2]) for i in range(0, rowsnumber)]
return Y
if __name__ == "__main__":
row_count = 500
X = np.random.randint(0, 10, (row_count, 3)) # 随机产生row_count个样本
Y = calculate(X) # 计算标记
regr = linear_model.LinearRegression()
regr.fit(X, np.array(Y).T)
a, b = regr.coef_, regr.intercept_
print(a)
print(b)
运行结果：
[2.00384674 2.99234723 3.99603084]
1.5344826581936104
和我们自己算的差不多吧。还有很多其他的类库可以调用，大叔没有一一去找。可能通常只要调用类库就足够了，不需要我们自己写，不过还是知道原理比较好，遇到问题才好对症下药。
我是这样理解的：我们能够调用到的常见的（广义）线性回归库，其实内部都是用直接求导法实现的（没有看过源码，猜测是直接求导，如果是梯度下降，不太可能自动算出步长），如果样本的属性比较少，比如少于一万个，调用类库就好，类库肯定比我们大部分人自己写的强，但是当样本属性非常多时，用直接求导法求解速度太慢，这时才需要我们自己写梯度下降代码。