2017 ZSTU寒假排位赛 #1

　　题目链接：https://vjudge.net/contest/147102#overview。

　　A题：给出一堆的点，要找出两条垂直的直线，一条与x轴呈45度。-->使得所有的点到任意一条直线的最短曼哈顿距离（具体见题意描述）的最大值最小。做法是先把坐标轴逆时针旋转45度，x'=(x-y)/sqrt2, y'=(x+y)/sqrt2。然后我们把最短曼哈顿距离和最短点到直线距离做个转化，求后者，然后乘sqrt2可以得到前者。因此最后的x'=x-y，y'=x+y。之后，二分答案mid，用一条竖着的线，管辖左右不超过mid距离的点，其他的点归横着的线管辖即可。具体做法见代码，用两条竖着的线去O(n)扫描即可。代码如下：

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <set>
using namespace std;
const int N = 100000 + 5;
const int inf = 2e9;
typedef pair<int,int> pii;

int n;
pii p[N];
int pre_min[N], aft_min[N], pre_max[N], aft_max[N];

void init()
{
    pre_min[1] = pre_max[1] = p[1].second;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        pre_min[i] = min(pre_min[i-1], p[i].second);
        pre_max[i] = max(pre_max[i-1], p[i].second);
    }
    aft_min[n] = aft_max[n] = p[n].second;
    for(int i=n-1;i>=1;i--)
    {
        aft_min[i] = min(aft_min[i+1], p[i].second);
        aft_max[i] = max(aft_max[i+1], p[i].second);
    }
}

bool solve(double mid)
{
    //if((double)(p[n].first-p[1].first) <= 2.0*mid) return 1;
    int j = 1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        //int j = i + 1;
        while(j <= n && 1.0*(p[j].first-p[i].first) <= 2.0*mid) j++;
        if(i == 1 && j == n+1) return 1;
        int maxx = -inf, minn = inf;
        if(i > 1)
        {
            maxx = max(maxx, pre_max[i-1]);
            minn = min(minn, pre_min[i-1]);
        }
        if(j <= n)
        {
            maxx = max(maxx, aft_max[j]);
            minn = min(minn, aft_min[j]);
        }
        if(1.0*(maxx - minn) <= 2.0*mid) return 1;
        //i = j;
    }
    return 0;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x, &y);
        p[i].first = x - y;
        p[i].second = x + y;
    }
    sort(p+1,p+1+n);
    init();
    double L = 0.0, R = inf;
    int cnt = 100;
    while(cnt--)
    {
        double mid = (L + R) / 2.0;
        if(solve(mid)) R = mid;
        else L = mid;
    }
    printf("%.15f
",R);
    return 0;
}

　　B题，只要找出最高的不同的一位，从这一位到最低位全部变成1的对应的那个数字就是答案。

　　C题，矩阵快速幂，矩阵的（i，j）位置表示余数从i变成i变成j的方案数，然后对这个矩阵进行b的幂次即可。代码如下（下面的代码，因为我的矩阵模板不是从0开始的，然而余数有0的可能，因此全部位移加1）：

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int mod = 1e9+7;

//int mod;
int n,b,k,x;

void add(int &a,int b)
{
    a += b;
    if(a < 0) a += mod;
    //if(a >= mod) a -= mod;
    a %= mod;
}

struct matrix
{
    int e[100+5][100+5],n,m;
    matrix() {}
    matrix(int _n,int _m): n(_n),m(_m) {memset(e,0,sizeof(e));}
    matrix operator * (const matrix &temp)const
    {
        matrix ret = matrix(n,temp.m);
        for(int i=1;i<=ret.n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=ret.m;j++)
            {
                for(int k=1;k<=m;k++)
                {
                    add(ret.e[i][j],1LL*e[i][k]*temp.e[k][j]%mod);
                }
            }
        }
        return ret;
    }
    matrix operator + (const matrix &temp)const
    {
        matrix ret = matrix(n,m);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                add(ret.e[i][j],(e[i][j]+temp.e[i][j])%mod);
            }
        }
        return ret;
    }
    void getE()
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                e[i][j] = i==j?1:0;
            }
        }
    }
};

matrix qpow(matrix temp,int x)
{
    int sz = temp.n;
    matrix base = matrix(sz,sz);
    base.getE();
    while(x)
    {
        if(x & 1) base = base * temp;
        x >>= 1;
        temp = temp * temp;
    }
    return base;
}

void print(matrix p)
{
    int n = p.n;
    int m = p.m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            printf("%d ",p.e[i][j]);
        }
        cout << endl;
    }
}

int cnt[12];

int main()
{
    cin >> n >> b >> k >> x;
    for(int i=1;i<=n;i++) {int t;scanf("%d",&t);cnt[t]++;}
    matrix ans = matrix(x,x);
    for(int i=1;i<=x;i++)
    {
        for(int j=1;j<=9;j++)
        {
            add(ans.e[i][((i-1)*10+j)%x+1], cnt[j]);
        }
    }
    ans = qpow(ans,b);
    cout << ans.e[1][k+1] << endl;
    return 0;
}

　　D题，考虑到m<n/2，那么总会有一个点，不在不能建的边内，那么找出这个点，其他点全部连接它即可（即假边建图，找出度为0的点即可）。

　　E题，q次询问，每次找出[L, R]内，回文串的总个数。做法是区间dp。代码如下：

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
using namespace std;
const int N = 5000 + 5;

char s[N];
int dp[N][N];
int is[N][N];

int main()
{
    scanf("%s",s+1);
    int n = strlen(s+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) {is[i][i] = dp[i][i] = 1;}
    for(int len=2;len<=n;len++)
    {
        for(int i=1;i+len-1<=n;i++)
        {
            int j = i + len - 1;
            is[i][j] = s[i] == s[j] && (i+1 <= j-1 ? is[i+1][j-1] : 1);
            dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i+1][j] - dp[i+1][j-1] + is[i][j];
        }
    }
    int q;
    scanf("%d",&q);
    while(q--)
    {
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d
",dp[l][r]);
    }
    return 0;
}