一、取模运算
（1）定义
给定一个正整数p和一个整数n 一定存在此等式 n=k*p+r;其中k,r是整数,r大于等于0小于p
称k是n除以p的商，r为n除以p的余数
说明：同余式 正整数a,b对p取模，它们的余数相同 记作 a≡b (mod p)
整数分为p个等价类，称为模p的剩余类
n%p所得结果的正负由n决定，与p无关。如：7%4=3，-7%4=-3，-7%-4=-3；
（2）基本性质
若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)
传递性：a≡b (% p),b≡c (% p),则a≡c (% p)
对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)
(3)运算规则
（a+b）%p=(a%p+b%p)%p
(a-b) %p=（a%p-b%p+p)%p //一定+p
(a*b)%p=(a%p*b%p)%p //可能会爆long long 快速乘
结合律：(（a+b）%p+c)%p=(a+(b+c)%p)%p
交换律：（（a+b）%p*c）=(a*c%p+b*c%p)%p
(4)重要定理：
如果a≡b (% p)，则
(a+c)≡(b+c) (% p),(a*c)≡(b*c) (% p)//c是任意的
若a≡b (% p)，c≡d (% p),则a+c≡b+d (% p),a-c≡b-d (% p),a*c≡b*d (% p),a/c≡b/d(% p)
(5)代码实现
//同余方程求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解 #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; int a,b,x,y; int gcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(!b){ x=1; y=0; return a; } int ans=gcd(b,a%b,y,x); y-=(a/b)*x; return ans; } int main() { scanf("%d%d",&a,&b); gcd(a,b,x,y); while(x<=0)x+=b; printf("%d ",x); return 0; }
二、乘法逆元
(a/b)%p=???
为了方便讨论，我们只讨论正整数群上的乘法逆元。
（1）定义：
若存在正整数a,b,p,满足a*b≡1(% p)，则称a是b的乘法逆元或者称b是a的乘法逆元。
在mod 7意义下，3的乘法逆元是5，在mod 6意义下2的乘法逆元是多少呢？？
在mod 6意义下不存在2的乘法逆元
（2）乘法逆元存在性定理
对于ab≡1(% p)，如果a与p互质，则一定存在一个正整数b满足b<p，否则不存在。
证明：对于上述同余方程，可得，ab-pk=1。对于ax+by=z,只有当z是gcd(a,b)的倍数时才有解。
所以gcd(a,p)=1，所以a,p互质时才存在b
（3）求乘法逆元
欧拉定理 费马小定理 扩展欧几里得 线性求逆元
三、欧拉函数
（1）定义
欧拉函数φ（n）表示小于等于n且与n互质的正整数的个数
特别的φ（1）=1。欧拉函数是积性函数
（2）欧拉函数公式
令n=Π(i=1-k)pi的ci次方为n的质因子分解式，则有
φ（n）=n*Π(i=1--k)（pi-1）/pi
（3）性质
a、若p为质数，则φ（p）=p-1
证明：代公式。
b、若p为质数，则φ（p^k）=（p-1）*（p^(k-1)）
证明：若p是质数，在p^k内只有p的倍数不与p^k互质，p的倍数有p^k/p=p^(k-1)次方个。
则，φ（p^k）=p^k-p^(k-1)=(p-1)*p^(k-1)
c、欧拉函数是积性函数，若n,m互质，则φ（nm）=φ（n）φ（m）
d、当n是奇数时，φ（2n）=φ（2）*φ（n）=φ(n)，因为此时2与n互质，满足c性质
e、若n>2，则φ（n）为偶数
证明：
①当n是质数时，φ（n）=n-1，因为n是大于2的质数，所以n一定是奇数，n-1一定是偶数
②当n是合数时，
f、当n>1时，1--n与n互质的数的和为 n*φ（n）/2
（4）欧拉定理
a^(φ（p）)≡1(mod p) 对任意互质的a,p都成立
a*a^(φ（p）-1)≡1(mod p) ，然后用快速幂求乘法逆元
四、费马小定理
对于任意互质的a,p(p为质数恒成立)
a^(p-1)≡1（mod p）
费马小定理是欧拉定理在p为质数时的推论，用于降低题目难度，竞赛中常见的质数998244353,1000000009
五、欧几里得算法及扩展
（1）欧几里得算法
gcd(a,b)=gcd(b,a%b).O（logn）求两个数的最大公约数
(2)扩展欧几里得算法
扩展欧几里得用于求形如 ax+by=gcd(a,b)的一组解，保证求出的解|x|+|y|最小。
求解过程：
由ax+by=gcd(a,b)得出另一个式子，bx'+a%by'=gcd(b,a%b),
由于gcd(a,b)=gcd(b,a%b),
所以ax+by=bx'+a%by'
ax+by=bx'+(a-a/b*b)y'
ax+by=bx'+ay'-a/b*by'
ax+by=b(x'-a/by')+ay'
所以 x=y',y=x'-a/by'。
所以这个方程的x,y可以由我们构造的方程求出，这样递归下去求解。
递归边界，b=0时，此时，ax+0*y=a。所以到边界时a=1,b为任意值。（代码上b=0的，试了一下任何值都可以）
代码实现：
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){ if(b==0){ x=1;y=0; return; } ecgcd(b,a%b,x,y); int t=x;x=y;y=t-a/b*y; }
（3）扩展欧几里得求逆元
由ab≡1(% p)
则ab-k*p=1,若gcd(a,p)=1则存在b为a的逆元。
复杂度O(logn)
六、线性筛素数
(1)引入
在之前的埃拉托色尼筛素数的方法中，16这个数被2,4,8筛掉，发现一个数被多个数筛掉很不划算。
那么怎样让一个数被只被一个数筛去呢？我们可以保证每个数只被它最小的质因子筛掉。时间复杂度O(n)
(2)理解
首先推荐一篇论文，很好理解。我就不赘述。
(3)代码实现
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; int n,m,cnt,check[100],prime[100]; void Prime(int n) { check[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++) { if(!check[i]) prime[++cnt]=i; for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++) { check[i*prime[j]]=1; if(i%prime[j]==0)break; } } } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); Prime(n); for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d",&x); if(!check[x])printf("Yes "); else printf("No "); } return 0; }
七、数论函数
（1）定义
a、定义域为正整数，陪域为复数的函数称为数论函数。（对于陪域和复数的概念我不理解）
b、积性函数 对于所有互质的正整数a,b满足f(a*b)=f(a)*f(b),完全积性函数是对于所有的正整数a,b都满足上式。
（2）常见的数论函数
1、对于任意正整数x，函数值均为1
e、对于正整数x，若x=1，函数值为1，否则为0
n、对于任意正整数x函数值均为x
以上为完全积性函数。
d:对于任意正整数x，函数值为它的正因子个数
φ：对于正整数x，函数值为小于等于它且与它互质的正整数的个数
μ:对于正整数x，设正整数x的质因子分解为 x=累乘i=1--k ai^pi，若存在pi≥2则函数值
为0，否则为（-1）^k，特殊的μ（1）=1
以上为积性函数。
八、莫比乌斯反演（没补全）
（1）引入
设，有F(n)=sigma[f(d)]，d|n。
例如：
F(1)=f(1)
F(2)=f(1)+f(2)
F(3)=f(1)+f(3)
F(4)=f(1)+f(2)+f(4)
F(5)=f(1)+f(5)
F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)
F(7)=f(1)+f(7)
F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)
可求得：
f(1)=F(1)
f(2)=F(2)-F(1)
f(3)=F(3)-F(1)
f(4)=F(4)-F(2)
f(5)=F(5)-F(1)
f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1)
f(7)=F(7)-F(1)
f(8)=F(8)-F(4)
发现了什么？？
F(n)=sigma[f(d)] =》f(n)=sigma[u(d)*F(n/d)], d|n
其中μ(d)为莫比乌斯函数，给出的定义如下。
当d=1时，μ(d)=1
当d=p1*p2*p3...*pr时，μ(d)=(-1)^r,其中pi是互不相同的素数
其他情况μ(d)=0
(2)莫比乌斯函数的性质
①莫比乌斯函数是积性函数，积性函数的性质，a、f(1)=1,b、积性函数的前缀和也是积性函数。
九、BSGS
求解形如 x ^y ≡ z(mod p) 中 y 的取值的算法.
设y=km+i则原同余式为x^km+i ≡ z(mod p)=》x^i≡z*x^(-km)
Baby Step:x^i可以预处理扔进一个map
Gaint Step: 枚举k，查找是否存在z*x^（-km）
十、杨辉三角
(1)引入
杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。杨辉三角形同时对应于二项式定理的系数。
(2)杨辉三角
(3)性质
a、每个数等于它上方两数之和
b、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大
c、第n行的数字有n项
d、第n行的数字和为2^(n-1)
e、第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即从n-1个不同元素中取出m-1个元素的组合数
补充：
f、第n行的第m个数与第n-m+1个数相等
g、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。
....
(4)应用
十一、质因数分解定理
(1)任何一个大于1的自然数n,如果n不为质数，那么n可以被唯一分解为有限个质数的乘积的形式，
N=P1a1P2a2P3a3......Pnan，这里P1<P2<P3......<Pn均为质数，其中指数ai是正整数。这样的分解称为 N 的标准分解式。
（2）一个大于1的正整数N，如果它的标准分解式为： 
，那么它的正因数个数为
。
有待更新//...