基本定理
一、必胜点与必败点
- (P) 点：必败点， 在双方都无比聪明的情况下，当前先手的人必败的情况。
- (N) 点：必胜点，在双方操作都正确的情况下，先手必胜的位置。
几个性质
- 所有终止位置都是必败点。（可当做公理，即所有公式的推理都在这个性质成立的基础上进行）。
- 从任意一个必胜点 (N) 出发，至少有一种方式到达一个必败点 (P)。
- 从一个必败点 (P) 出发，所有的移动都会到达必胜点 (N)。
二、无偏博弈
无偏博弈是一类任意局势对于游戏双方都是平等的回合制双人游戏。这里平等的意思是所有可行的走法仅仅依赖于当前的局势，而与现在正要行动的是哪一方无关。换句话说，两个游戏者除了先后手之外毫无区别。此外还需要满足以下性质：
- 完全信息，任意一个玩家都能够知晓整个游戏状态。
- 无随机行动，所有的行动都会转移到一个唯一确定的状态。
- 在有限步内游戏会终止， 此时有位移的必胜者。
三、DAG中的博弈
给定一张有向无环图，在起始定点有一枚棋子，两个顶尖聪明的人交替移动这枚棋子，不能移动的人算输
不要小看这个游戏，事实上，所有无偏博弈问题都可以抽象为这种游戏(即把初始局面看做顶点，把从一个状态可以到另一个状态之间连边)。
SG函数
- SG 函数：对于每一个状态的一个尼姆数的函数
- Sprague−Grundy 定理：所有一般胜利下的无偏博弈（定义在上面）都能够转化成尼姆数表达的尼姆堆博弈，一个无偏博弈的尼姆值定义为这个博弈的等价尼姆数。
首先来定义 mex 运算，这是一种集合中的运算，它表示最小不属于这个集合中的自然数。
(mex {0. 1, 2, 3} = 4)， (mex {2, 3 } = 0)， (mex {emptyset } = 0)
那么我们有运算(SG(x)=mex{SG(y),<x,y> in E}) (E 为边集)。即对于当前状态 x 的 SG 函数，它的值定义为所有的后继状态的 mex 值。
我们来看一下它的性质：
- 所有汇点的 SG 函数都为 0。
这个性质比较显然，因为汇点没有后继状态，因此那个集合为空集，所以 SG 函数为 0。
- 当 (SG(x) = 0) 时，该节点为必败点。
由 SG 函数的性质可知， x 的后继状态都非 0。满足必败点的定义。
- 当 (SG(x) ot = 0) 时， 该节点为必胜点。
由 SG 函数的性质可知， x 的后继状态中只有一个必败点， 满足必胜点定义。
SG定理
游戏和的 SG 函数等于各个游戏 SG 函数的异或和。
翻译成人话就是：对于一个游戏 (X)，可以拆分成 n 个小问题， (x_1, x_2, dots, x_n),
那么 (SG(X) = SG(x_1) oplus SG(x_2) oplus dots oplus SG(x_n))。
至于证明的话...........不完全归纳法算不算。
Anti-SG游戏 & SJ定理
基本问题
决策集合为空者的操作者胜利。翻译成 Nim 一点的问题就是，给定 n 堆式子，每次每个人可以从任意一堆石子中拿走不少于一个的石子，拿走最后一个石子的人输。
解决方法
SJ 定理：对于一个 Anti−SG 游戏，如果我们规定当前局面中所有单一游戏的 SG 为 0 时，游戏结束，则先手必胜的条件为：
- 游戏的 SG 值不为 0， 且存在一个单一游戏的 SG 值大于 1。
- 游戏的 SG 为 0， 且不存在任意一个单一游戏的 (SG) 值大于 1。
模板 & 代码
Multi-SG游戏
基本模型
决策集合为空的操作者输。一个单一游戏的后继可以是多个单一游戏。换成 Nim 一点的说法就是，给你 n 堆石子，每次可以去任意多个，或者将一堆石子分成两堆非空的石子，不能操作者输， 让你判定胜负。
解决办法
还是可以使用 (SG) 函数来解决。举个栗子，比如一堆 3 个石子，你可以一次取 0, 1, 2, 3 个或者将它分成 ((1, 2)) 两堆， 因此 $SG(3) = mex { SG(0), SG(1), SG(2), SG(3), SG((1, 2)) = SG(1) oplus SG(2) } $
那么这个问题本质上还是一个 Nim 游戏， 可以直接用 SG 函数来解决。
同时，这样每次拆分成两堆的 Multi-SG 游戏，打表找规律后发现这样的性质。
模板 & 代码
HDU 3032 Nim or not Nim
BZOJ 2940
小结
主要参考， yyb的博弈论总结 & attack 大爷的blog。