背包问题

背包问题

目前已经学了三种背包问题，是时候整理一下模版了

01背包

这是最基础的背包问题，即每件物品只能取一次，问背包能装的不超过容量的最大价值

方程：dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+val[i]}(j>=w[i])

　　　　边界：dp[i][j]=dp[i-1][j](j<w[i])，dp[0][j]=0;

空间优化：由于dp[i][]只与dp[i-1][]有关，所以可以用滚动数组或迭代成一维数组进行空间优化

　　滚动数组：让i%2即可，就不贴代码了

　　迭代转为一维数组：dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+val[i])，此时j必须逆序遍历，关于为什么逆序在另一篇博客http://www.cnblogs.com/--560/p/4340764.html已经介绍的很清楚了，就不过多叙述了，这里只给代码

memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1;i<=N;i++){
      for(int j=M;j>=0;j--){
            if(j-w[i]>=0) dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
      }
}

/* 由于j>=w[i]，所以上述代码也可以这样写  */

memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1;i<=N;i++){
      for(int j=M;j>=w[i];j--){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
      }
}

完全背包

即有n种物品，每种物品有无限个，还是问背包能装的不超过容量的最大价值

方程：dp[j]=max{dp[j-w[i]]+val[i],dp[j]} 方程和01背包表面上一样，但其实不一样，j必须顺序遍历；在另一篇博客已经解释的很清楚了，就不解释了，附链接http://www.cnblogs.com/--560/p/4345855.html

dp[0]=0;
for(int i=1;i<=N;i++){
    for(int j=M;j>=0;j--){
        if(j-w[i]>=0) dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
    }
}

/* 同样也可以写成这样 */
dp[0]=0;
for(int i=1;i<=N;i++){
    for(int j=M;j>=w[i];j--){
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
    }
}

多重背包

即每种物品数量有限，问题同上

方法：用二进制优化并转为01背包，懒得写了，直接看下面的代码吧

void ZeroOnePack(int weight,int val)
{
    for(int i=cash;i>=weight;i--){
        dp[i]=max(dp[i],dp[i-weight]+val);
    }
}

void CompletePack(int weight,int val)
{
    for(int i=weight;i<=cash;i++){
        dp[i]=max(dp[i],dp[i-weight]+val);
    }
}

void MultiPack(int weight,int val,int amount)
{
    if(weight*amount>=cash) CompletePack(weight,val);//如果超过限制，当完全背包处理
    else{                //否则用二进制优化并转为01背包处理
        int k=1;
        while(k<amount){//按k=1,2,4,...的顺序分解amount，对分解后的部分按01背包处理
            ZeroOnePack(k*weight,k*val);
            amount-=k;
            k*=2;
        }
        ZeroOnePack(amount*weight,amount*val); //剩下部分也按01背包处理
    }
}

int main()
{
    while(cin>>cash>>N){
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=N;i++){
            cin>>n[i]>>D[i];
            MultiPack(D[i],D[i],n[i]);
        }
        cout<<dp[cash]<<endl;
    }
    return 0;
}