Codeforces Round #589 (Div. 2)-E. Another Filling the Grid-容斥定理
【Problem Description】
在(n imes n)的格子中填入([1,k])之间的数字，并且保证每一行至少有一个(1)，每一列至少有一个(1)，问有多少种满足条件的填充方案。
【Solution】
令(R[i])表示为第(i)行至少有一个(1)的方案数，(C[i])表示第(i)列至少有一个(1)的方案数。则题目要求的就是(igcap_{i=1}^nR[i]cap C[i])。由容斥定理得：
[sum_{i=0}^{n} sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} cdot {nchoose j} cdot {nchoose i} cdot k^{n^2 - n cdot (i+j) + i cdot j} cdot (k-1)^{n cdot (i+j) - i cdot j}
]
表示从(n)行中，选(i)行，从(n)列中选(j)列，选出(ncdot(i+j)-icdot j)个格子不能放(1)，这些格子有((k-1)^{ncdot (i+j)-icdot j})种放置方案，剩余的(n^2-ncdot (i+j)+icdot j)有(k^{n^2-ncdot (i+j)+icdot j})种放置方案。
【Code】
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef int Int;
#define int long long
#define maxn 1005
#define INF 0x3f3f3f3f
const int mod=1e9+7;
int bit[maxn][maxn];
int fpow(int a,int b){
int ans=1;a%=mod;
while(b){
if(b&1) (ans*=a)%=mod;
(a*=a)%=mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
Int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
int n,k;cin>>n>>k;
for(int i=0;i<=n;i++) bit[i][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){ //预处理组合数
for(int j=1;j<=i;j++){
bit[i][j]=(bit[i-1][j]+bit[i-1][j-1])%mod;
}
}
int ans=0;
for(int i=0;i<=n;i++){ //直接套公式即可
for(int j=0;j<=n;j++){
ans+=((i+j)&1?-1:1)*bit[n][i]%mod*bit[n][j]%mod*fpow(k,n*n-n*(i+j)+i*j)%mod*fpow(k-1,n*(i+j)-i*j)%mod;
ans%=mod;
}
}
cout<<(ans+mod)%mod<<endl;
return 0;
}