一，问题描述
给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB
则这两个字符串的最长公共子序列长度为4，最长公共子序列是：BCBA
二，算法求解
这是一个动态规划的题目。对于可用动态规划求解的问题，一般有两个特征：①最优子结构；②重叠子问题
①最优子结构
设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是两个序列，将 X 和 Y 的最长公共子序列记为LCS(X,Y)
找出LCS(X,Y)就是一个最优化问题。因为，我们需要找到X 和 Y中最长的那个公共子序列。而要找X 和 Y的LCS，首先考虑X的最后一个元素和Y的最后一个元素。
1）如果 xn=ym，即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同，这说明该元素一定位于公共子序列中。因此，现在只需要找：LCS(Xn-1，Ym-1)
LCS(Xn-1，Ym-1)就是原问题的一个子问题。为什么叫子问题？因为它的规模比原问题小。（小一个元素也是小嘛....）
为什么是最优的子问题？因为我们要找的是Xn-1 和 Ym-1 的最长公共子序列啊。。。最长的！！！换句话说，就是最优的那个。（这里的最优就是最长的意思）
2）如果xn != ym，这下要麻烦一点，因为它产生了两个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 和 LCS(Xn，Ym-1)
因为序列X 和 序列Y 的最后一个元素不相等嘛，那说明最后一个元素不可能是最长公共子序列中的元素嘛。（都不相等了，怎么公共嘛）。
LCS(Xn-1，Ym)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。
LCS(Xn，Ym-1)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。
求解上面两个子问题，得到的公共子序列谁最长，那谁就是 LCS（X,Y）。用数学表示就是：
LCS=max{LCS(Xn-1，Ym)，LCS(Xn，Ym-1)}
由于条件 1) 和 2) 考虑到了所有可能的情况。因此，我们成功地把原问题 转化 成了 三个规模更小的子问题。
②重叠子问题
重叠子问题是啥？就是说原问题 转化 成子问题后， 子问题中有相同的问题。咦？我怎么没有发现上面的三个子问题中有相同的啊？？？？
OK，来看看，原问题是：LCS(X,Y)。子问题有 ❶LCS(Xn-1，Ym-1) ❷LCS(Xn-1，Ym) ❸LCS(Xn，Ym-1)
初一看，这三个子问题是不重叠的。可本质上它们是重叠的，因为它们只重叠了一大部分。举例：
第二个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 就包含了：问题❶LCS(Xn-1，Ym-1)，为什么？
因为，当Xn-1 和 Ym 的最后一个元素不相同时，我们又需要将LCS(Xn-1，Ym)进行分解：分解成：LCS(Xn-1，Ym-1) 和 LCS(Xn-2，Ym)
也就是说：在子问题的继续分解中，有些问题是重叠的。
由于像LCS这样的问题，它具有重叠子问题的性质，因此：用递归来求解就太不划算了。因为采用递归，它重复地求解了子问题啊。而且注意哦，所有子问题加起来的个数 可是指数级的哦。。。。
这篇文章中就演示了一个递归求解重叠子问题的示例。
那么问题来了，你说用递归求解，有指数级个子问题，故时间复杂度是指数级。这指数级个子问题，难道用了动态规划，就变成多项式时间了？？
呵呵哒。。。。
关键是采用动态规划时，并不需要去一 一 计算那些重叠了的子问题。或者说：用了动态规划之后，有些子问题 是通过 “查表“ 直接得到的，而不是重新又计算一遍得到的。废话少说：举个例子吧！比如求Fib数列。关于Fib数列，可参考：
求fib(5)，分解成了两个子问题：fib(4) 和 fib(3)，求解fib(4) 和 fib(3)时，又分解了一系列的小问题....
从图中可以看出：根的左右子树：fib(4) 和 fib(3)下，是有很多重叠的！！！比如，对于 fib(2)，它就一共出现了三次。如果用递归来求解，fib(2)就会被计算三次，而用DP(Dynamic Programming)动态规划，则fib(2)只会计算一次，其他两次则是通过”查表“直接求得。而且，更关键的是：查找求得该问题的解之后，就不需要再继续去分解该问题了。而对于递归，是不断地将问题分解，直到分解为 基准问题(fib(1) 或者 fib(0))
说了这么多，还是要写下最长公共子序列的递归式才完整。借用网友的一张图吧：）
c[i,j]表示：(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最长公共子序列的长度。（是长度哦，就是一个整数嘛）。公式的具体解释可参考《算法导论》动态规划章节
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 const int N = 1000; 6 char a[N],b[N]; 7 int dp[N][N]; 8 int main() 9 { 10 int lena,lenb,i,j; 11 while(scanf("%s%s",a,b)!=EOF) 12 { 13 memset(dp,0,sizeof(dp)); 14 lena=strlen(a); 15 lenb=strlen(b); 16 for(i=1;i<=lena;i++) 17 { 18 for(j=1;j<=lenb;j++) 19 { 20 if(a[i-1]==b[j-1]) 21 { 22 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; 23 } 24 else 25 { 26 dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]); 27 } 28 } 29 } 30 printf("%d ",dp[lena][lenb]); 31 } 32 return 0; 33 }
继续补充一个，如果我们想输出这个序列怎么办呢？
简单来说就是理解dp含义就好了
1 #include <iostream> 2 #include <stdio.h> 3 #include <algorithm> 4 #include <stdlib.h> 5 #include <string> 6 #include <string.h> 7 #include <set> 8 #include <queue> 9 #include <math.h> 10 #include <stdbool.h> 11 12 #define ll long long 13 #define inf 0x3f3f3f3f 14 using namespace std; 15 const int MAXN = 1005; 16 const int N = 1005; 17 char a[N],b[N]; 18 int dp[N][N]; 19 int main() 20 { 21 int lena,lenb,i,j; 22 scanf("%s%s",a,b); 23 memset(dp,0,sizeof(dp)); 24 lena = strlen(a); 25 lenb = strlen(b); 26 for(i=1;i<=lena;i++) 27 { 28 for(j=1;j<=lenb;j++) 29 { 30 if(a[i-1]==b[j-1]) 31 { 32 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; 33 } 34 else{ 35 dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]); 36 } 37 } 38 } 39 int k=0; 40 char ans[1005]; 41 int p = lena-1; 42 int q = lenb-1; 43 while (p>=0 && q>=0) 44 { 45 if (dp[p][q] + 1 == dp[p + 1][q + 1] && a[p] == b[q]) { 46 ans[k++] = a[p]; 47 p--; 48 q--; 49 } else if (dp[p][q + 1] > dp[p + 1][q]) //可以理解第二个字符串往后走一个比一个字符串往后走一个更大 ，那么q+1位置是最大的，所以不能移动它要移动p 50 p--; 51 else // 同理 52 q--; 53 } 54 for (i=k-1;i>=0;i--) 55 { 56 printf("%c",ans[i]); 57 } 58 printf(" "); 59 return 0; 60 }
优化版本 nlogn
#include <iostream> #include <algorithm> #include <string> #include <string.h> #include <vector> #include <map> #include <stack> #include <set> #include <queue> #include <math.h> #include <cstdio> #include <iomanip> #include <time.h> #include <bitset> #include <cmath> #define LL long long #define INF 0x3f3f3f3f #define ls nod<<1 #define rs (nod<<1)+1 const double eps = 1e-10; const int maxn = 1e5 + 10; const LL mod = 1e9 + 7; int sgn(double a){return a < -eps ? -1 : a < eps ? 0 : 1;} using namespace std; int a[100001],b[100001],mp[100001],f[100001]; int main() { int n; cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);mp[a[i]]=i;} for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&b[i]);f[i]=0x7fffffff;} int len=0; f[0]=0; for(int i=1;i<=n;i++) { int l=0,r=len,mid; if(mp[b[i]]>f[len])f[++len]=mp[b[i]]; else { int ans = 0; while(l<=r) { mid=(l+r)/2; if(f[mid]>mp[b[i]]) { ans = mid; r=mid-1; } else l=mid+1; } f[l]=min(mp[b[i]],f[ans]); } } cout<<len; return 0; }