答案:
Q1:验证SO(3) SE(3) Sim(3)关于乘法成群
SO(3) : 由P64最开始可知,乘法代表了旋转,而SO(3)是旋转矩阵的集合,
SE(3) Sim(3) 同理(最基础的部分还是旋转,平移和缩放只是附加的)
Q2:验证(R3, R, X)构成李代数
满足李代数定义的四条性质:
封闭性:对于任意的三维向量X Y,他们的内积仍然是三维向量
双线性:显然可得
自反性:sin(0°) = 0
雅克比等价: 只可以举一个特殊的例子,在笛卡尔坐标系下考虑就是三个零相加 待大神补充
Q3:验证so(3) se(3)构成李代数
so(3)的元素是一个三维向量/三维反对称矩阵, 并将这个元素记做 φ 其李括号是[φ1,φ2] = [φ1φ2 - φ2φ1]V
封闭性:
双线性:
自反性:显然可得
雅克比等价:待大神补充
se(3)的元素是一个六维向量,上面是平移,下面同so(3)
封闭性:
双线性:
自反性:显然可得
雅克比等价:待大神补充
Q4:
Q5:
Q6:
Q7:
学习心得：
在研究SLAM时候，除了对三维世界刚体运动表示外（ch3），由于噪声的影响，还要进行对可能的位姿进行优化，而旋转矩阵必须得是行列式为1的正交矩阵，
为了减少这种约束，我们希望通过李群和李代数之间的关系，把位姿估计变为无约束的问题
李群和李代数是群论里的一部分，我们研究的SO(3) SE(3)都是李群，SO(3) SE(3)只有乘法没有加法，既然没有加法，就不存在取极限，更没有求导了
所以引入李代数来实现求导，进而引出了扰动模型
Q：实践时发现看了这么多公式的推演，但还是没法动手写代码，甚至连阅读demo code都是一件费劲的事情！
Solution：1.研读代码和公式，学习代码
缺陷
虽然数学推导确实很难，但其实做数学推导还是有很多好处的，比如可以加深对公式的理解和记忆，以后看到类似paper的时候就不会感到晕了【类比思想嘛】，比如相似变换群(Sim(3))
但即使这样做下来，除了对SO(3) 和 se(3)有一些很好的把握外，变换矩阵的还有点不太清楚，第二遍争取可以把公式再梳理一遍