「Luogu P3469」「POI2008」Blockade

Description

给定一张无向图，求每个点被封锁之后有多少个有序点对 ((x,y)(x e y,1le x,yle n)) 满足 (x) 无法到达 (y)。

Hint

• (1le nle 10^5)
• (1le mle 5 imes 10^5)

Solution

对第 (i) 个点分类讨论——如果 (i):

1. 是割点：

   • Tarjan 算法是一个搜索树的 DFS，设 ( ext{size}_i) 为当前结点的第 (i) 个子树的大小（结点数），共有 (k) 个子树，那么删去这个割点的答案即为：
     (left[sum_{i = 1}^k ext{size}_i imes (n - ext{size}_i - 1) ight] + ext{sum} imes (n - ext{sum} - 1) + 2(n - 1))
   • 其中，( ext{sum} = sum_{i = 1}^k ext{size}_i)，这些都可以在 Tarjan 算法中完成。

2. 不是割点：

   • 很显然，其他的结点之间的连通性并不会受此影响，所以只是所以的有关于这一个点的点对没了，答案为 (2(n - 1))。

复杂度 (O(n + m))

Code

/*
 * Author : _Wallace_
 * Source : https://www.cnblogs.com/-Wallace-/
 * Problem : Luogu P3469 POI2008 Blockade
 */
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <vector>

using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;

vector<int> G[N];
int n, m;

int timer = 0;
int dfn[N], low[N];
bool cut[N];
int size[N];
long long ans[N];
void Tarjan(int x) {
	dfn[x] = low[x] = ++timer, size[x] = 1;
	int ch = 0, sum = 0;
	for (auto y : G[x]) {
		if (!dfn[y]) {
			Tarjan(y), size[x] += size[y];
			low[x] = min(low[x], low[y]);
			if (low[y] >= dfn[x]) {
				ans[x] += size[y] * 1LL * (n - size[y] - 1);
				sum += size[y], ++ch;
				if (x != 1 || ch > 1) cut[x] = true;
			}
		}
		low[x] = min(low[x], dfn[y]);
	}
	if (!cut[x]) ans[x] = (n - 1) * 2;
	else ans[x] += (n - sum - 1) * 1LL * sum + (n - 1) * 2;
}

signed main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (register int i = 1, u, v; i <= m; i++) {
		scanf("%d%d", &u, &v);
		G[u].push_back(v);
		G[v].push_back(u);
	}
	
	Tarjan(1);
	
	for (register int i = 1; i <= n; i++)
		printf("%lld
", ans[i]);
	return 0;
}