「Wallace 笔记」图的绝对中心 和 最小直径生成树（MDST）的求法

简介

无向图中某一点（可以在顶点上或边上），这个点到所有点的最短距离的最大值最小，那么这个点就是 图的绝对中心。

无向图所有生成树中，直径最小的一个，被称为 最小直径生成树。

图的绝对中心的求法

下文设 (d(i, j)) 为顶点 (i,j) 间的最短路径长。

首先我们考虑枚举每一条边 ((u, v))，长为 (L)，并假设绝对中心 (p) 在这条边上并且距离 (u) 长为 (x(le L))。

对于图中一点 (i)，(p) 到 (i) 的距离可以写作 (d(p, i) = min(d(u, i) + x, d(v, i) + (L - x)))。

那么显然可以看出 (d(p, i)) 的函数图像是一个 两条斜率相同的线段构成的折线段。

于是 (p) 到最远点距离的函数可以写作 (f = maxlimits_{1le ile n}{d(p, i)})，图像是一堆折线组成的 更加曲折的 折线，如图（来源）：

图中的 (alpha) 即为文中的 (x)，(omega_{u, v}) 即为 (L)，(w_{1cdots n}) 为图中异于 (u, v) 的点。

那么答案即为图像中的最低点，横坐标即为绝对中心的位置。

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如何得到最低点？不难观察到最低点必然是两折线的交点。

对于图中的两点 (i, j)，若 (d(u, i) ge d(u, j)) 且 (d(v, i) ge d(v, j))，那么显然这个 (j) 是丝毫不用考虑的——可以看出 (d(p, j)) 的函数图像是完全位于 (d(p, i)) 下方的，最低点显然不会在此。

这样筛出的 (t) 条折线会有 (t - 1) 个交点，那么只要根据这些交点更新答案即可。

(O(t^2)) 暴力枚举？大可不必。可以观察到，有一个性质，若我们将这些折线 按 (d(u, i)) 的大小 升序排序，那么对应 (d(v, i)) 的大小是 递减的。

于是排序后相邻两折线必定会有交点。

图的绝对中心的实现

设 (adj(i, j)) 为结点 (i, j) 间的直接距离（边长），(d(i, j)) 如上文所述，(rk(i, j)) 为距离点 (i) 第 (j) 远的点，(f) 即上文的函数。

这里 (ans) 表示最远距离。

1. 首先使用多源最短路算法（Floyd，Johnson 等）求出 (d) 数组。
2. 求出 (rk)，对于每一个 (i)，按关键字 (d(i, j)) 降序排序。
3. 然后对于每一个点或边对答案进行更新：
   • 可能在点上：对于每一个点 (i)，用相对较远的点更新：(ans leftarrow min(ans, d(i, rk(i, 1))))。
   • 可能在边上：对于每一条边 ((i, j))，从距离 (i) 最远的点开始验证——对于所有的 (k(le n))：
     • 若 (d(j, rk(i, k-1)) le d(j, rk(i, k)))，因为 (rk) 是根据 (d(i, cdots)) 排序的，那么两者组合，发现这个对答案无贡献，不能计算，跳过。
     • 否则就是 (f) 上的一个可能为答案的点（交点）。更新答案：(ansleftarrow min(ans, dfrac{d(i, rk(i, k)) + d(i, rk(i, k - 1)) + adj(i, j)}{2}))。

最后 (ans) 即为所求。如果需要具体位置需要特别地在更新 (ans) 时记录。

复杂度 (O(n^3 + nm)) 或 (O(nmlog n + nm))，区别在于多源最短路的求法。对于无权图还可以直接 Bfs 得到更优秀的效率。

最小直径生成树（MDST）的求法

根据定义，易知图的绝对中心必定为 MDST 直径的中点。

那么只要得到绝对重心，MDST 并不难求——从绝对中心开始，生成一个最短路径树即为 MDST。

显然 MDST 的直径大小为 (ans imes 2)。

习题

• BZOJ 2180 - 最小直径生成树 / SPOJ MDST - Minimum Diameter Spanning Tree 【参考代码】
• SPOJ PT07C - The GbAaY Kingdom 【参考代码】
• Codeforces 266D - BerDonalds

后记

• 原文地址：https://www.cnblogs.com/-Wallace-/p/13483433.html
• 本文作者：@-Wallace-
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