[BSGS]

[模板] 大步小步算法——BSGS算法

这个算法叫做B(拔)S(山)G(盖)S(世)，或B(北)S(上)G(广)S(深)。 就是这么个骚东西。

大步小步算法用于解决：已知A, B, C，求X使得
A^x = B (mod C)
成立。

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先令 x = i*m-j，其中 m=ceil(sqrt(p))，ceil是向上取整。

这样原式就变为    a^i*m-j = b (mod p)，

移项就变成了      a^i*m = b*a^j (mod p)

枚举j (范围0-m) ,将 b*a^j  存入hash表。

枚举i (范围1-m) ,从hash表中寻找第一个满足a^i*m = b*a^j  (mod p)。

此时   x = i*m-j  就是所要求的。

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那么为什么只计算到 m=ceil(sqrt(q))  就可以确定答案呢？

因为 x = i*m-j , 所以x 的最大值不会超过p

由费马小定理知: 当p为质数且 (a,p) = 1 时 a^p-1 ≡ 1 (mod p)

所以 当 x = p-1 时 a^p-1 ≡ 1 会重新开始循环 所以 x 最大不会超过 p-1

所以：如果枚举 x 的话枚举到 p 即可。

所以使 im−j<=p , 即 m=⌈√p⌉ , i,j 最大值也为m。

还有 我不保证 我写的 不会 出错（逃

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <map>
#include <algorithm>

using namespace std;

map<long long,long long> kkk;

int a,b,p,res;

bool flag;

long long GCD(long long a,long long b)
{
    return !b ? a : GCD(b,a % b); 
} 

long long quickpower(long long a,long long b,long long p)
{
    long long ans = 1;
    
    while(b)
    {
        if(b & 1) ans = ans * a % p;
        
        a *= a;
        b >>= 1; 
    }
    
    return ans % p;
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d%d",&a,&p,&b) && a != 0 && b != 0 && p != 0)
    {
        flag = 0;// 判断的 
        
        if(a == b)// 特判 
        {
            printf("1
");
            
            flag = 1;
        }
        
        kkk.clear();//清空 
        
        if(GCD(a,p) != 1)// 不互质 
        {
            printf("No Solution
");
            
            continue;
        }
        
        int sq = ceil(sqrt(p));// 分块 
        
        int now = b % p;// j == 0;
        
        kkk[now] = 0;
        
        for(int j=1;j<=sq;j++)
        {
            now = now * a % p;
            
            kkk[now] = j;
        }
        
        now = 1;
        
        int power = quickpower(a,sq,p);//求 a^sq 
        
        for(int i=1;i<=sq;i++)
        {
            now = now * power % p;// 枚举 a^(i*sq) 
            
            if(kkk[now] && !flag)// flag 防止 多输出 , 如果找到了重复的 说明已经找到了 
            {
                res = i * sq - kkk[now];
                
                printf("%d
",(res + p) % p);// 保证不为负数 
                
                flag = 1;
                
            }
        }
        
        if(!flag)
            printf("No Solution
");
    }
    
    return 0;
}