费马小定理

二、费马小定理

费马小定理是数论中的一个定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么

是p的倍数(即(a^p-a)%p==0  -->  a^p%p=a%p)，可以表示为

如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成(同余式写法)

同余式

如果两个正整数 a和 b之差能被 n整除，那么我们就说 a和 b对模n同余，记作：

证明

任意取一个质数，比如13。考虑从1到12的一系列整数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，给这些数都乘上一个与13互质的数，比如3，得3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36。对于模13来说，这些数同余于3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10。这些余数实际上就是原来的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，只是顺序不同而已。
把1,2,3,…,12统统乘起来，乘积就是12的阶乘12！。把3,6,9,…,36也统统乘起来，并且提出公因子3，乘积就是3¹²×12！。对于模13来说，这两个乘积都同余于1,2,3,…,12系列，尽管顺序不是一一对应，即3¹²x12!≡12！mod 13。两边同时除以12！得3¹²≡1 mod 13。如果用p代替13，用x代替3，就得到费马小定理x^p－1≡1 mod p。

应用

• 计算2^100除以13的余数

2^100除以13的余数

• 证明对于任意整数a而言
  
  
  
  恒为2730的倍数。13减1为12，12的正因数有1, 2, 3, 4, 6, 12，分别加1，为2, 3, 4, 5, 7, 13，其中2, 3, 5, 7, 13为质数，
  根据定理，
  
  
  
  为2的倍数、为3的倍数、为5的倍数、为7的倍数、为13的倍数，即235713=2730的倍数。

• long long f(long a,long b,long n)  //定义函数，求a的b次方对n取模
  {
      int t,y;
      t=1;
      y=a;
      while(b!=0)
      {
          if((b&1)==1)
          t=t*y%n;
          y=y*y%n;
          b=b>>1;
      }
      return t;
  }

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來源：简书