Description
对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。
如果某个正整数x满足：g(x)>g(i) 0<i<x，则称x为反质数。例如，整数1，2，4，6等都是反质数。
现在给定一个数N，你能求出不超过N的最大的反质数么？
Input
一个数N（1<=N<=2,000,000,000）。
Output
不超过N的最大的反质数。
woc,神仙题.
一.暴力(O(n^{frac{5}{2}})) (40pts)
直接写暴力的话,可以(get)到(40pts)
暴力怎么写?
直接倒叙枚举(n),再判断当前(i)是否满足条件.(再枚举一层(j))
这样
for(R int i=n;i;i--)
{
R int res=calc(i);
bool flg=false;
for(R int j=1;j<i;j++)
if(res<=calc(j)){flg=true;break;}
if(!flg)
{
printf("%d",i);
break;
}
}
上面的(calc)函数是计算约数个数,(sqrt{n})的复杂度.
二,正解
还好突然想起来结论.
首先根据唯一分解定理
[x=p_1^{k_1} imes p_2^{k_2} imes p_3^{k_3} imes dots
]
这里的(p)全部都是质数.
然后结论就是.
[d(x)=(k_1+1) imes(k_2+1) imes dots
]
其实真正的定义的话,(d(x))代表(x)的约数个数.
因此搜索就好了,枚举每一个质数的(k)次方,记录答案.
需要注意的是,当某一个数的约数个数之前已经出现过,那我们要取较为靠前的一个.
(因为题目要求必须严格(>))
代码
#include<cstdio>
#include<cctype>
#define int long long
#define R register
#define N 10000008
using namespace std;
inline void in(int &x)
{
int f=1;x=0;char s=getchar();
while(!isdigit(s)){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
while(isdigit(s)){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
x*=f;
}
int prime[20]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59};
int ans,mx,n;
void dfs(int dep,int now,int cnt)
{
if(dep>=11)return;
if(cnt>mx)mx=cnt,ans=now;
if(cnt==mx and ans>now)ans=now;
for(R int i=1;i<=32;i++)
{
if(now*prime[dep]>n)break;
dfs(dep+1,now*=prime[dep],cnt*(i+1));
}
}
signed main()
{
in(n);
dfs(1,1,1);
printf("%lld",ans);
}