poj 1160 Post Office 【区间dp】

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题目大意：

一条高速公路，有N个村庄，每个村庄均有一个唯一的坐标，选择P个村庄建邮局，问怎么选择，才能使每个村庄到其最近邮局的距离和最小？最后打印这个最小值。

思路：典型的DP问题。

当我们在v个村庄中只建一个邮局，可以推导出，只有邮局位于中间位置，距离和才最小；有一个特殊情况是，当村庄数为偶数，中间位置有两个村庄，经过计算，两个村庄的距离和相等，所以俩位置均可。

可以联想到，N个村庄建P个邮局，相当于每个邮局均有一个作用范围，该邮局位于其作用范围的中间位置，就是要找到一个k，使前k个村庄建P - 1个邮局，最后几个村庄建一个邮局的方案满足题意。

那么，状态转移方程就可以写成：

dp[i][j]：前i个村庄建j个邮局的最小距离和

dis[i][j]：第i个村庄到第j个村庄之间建1个邮局的最小距离和

状态转移方程：dp[i][j] = min（dp[i][j]，dp[k][j - 1] + dis[k + 1][j]）

还有一点，计算dis[i][j]时，dis[i][j - 1]已经计算出来，而且可以推导出无论j - 1为奇数还是偶数，dis[i][j]均可以写成dis[i][j - 1] + j距离i、j中点的距离。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
#define INF 0X3f3f3f3f
int N, P;
int a[305];//村庄位置
int dis[305][305];//dis[i][j]表示i，j之间建一个邮局的最小距离和
int dp[305][35];//dp[i][j]表示前i个村庄建j个邮局的最小距离和


int main() {
    while (scanf("%d%d", &N, &P) != EOF) {
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            scanf("%d", &a[i]);
        }
        memset(dis, 0, sizeof(dis));


        for (int i = 1; i <= N - 1; i++) {
            for (int j = i + 1; j <= N; j++) {
                dis[i][j] = dis[i][j - 1] + a[j] - a[(i + j) / 2];     //这个可以通过画图理解
            }
        }//初始化dis[][]数组


        memset(dp, INF, sizeof(dp));
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            dp[i][1] = dis[1][i];//建一个邮局的情况是临界值，事先处理
        } //初始化dp数组，为下面的状态转移方程做准备


        for (int i = 2; i <= P; i++) {//一共建i个邮局
            for (int j = i; j <= N; j++) {//1~j村庄建i个邮局
                for (int k = i - 1; k <= j - 1; k++) {//1~k村庄建i-1个邮局,因为一定要留一个邮局在k~j个村庄中建
                    dp[j][i] = min(dp[j][i], dp[k][i - 1] + dis[k + 1][j]);
                }
            }
        }
        printf("%d
", dp[N][P]);


    }
    return 0;
}

2018-07-26