HDU 3761 炸碉堡【半平面交（nlogn）】+【二分】

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题目大意：

给出一个凸多边形，顶点为一些防御塔，保护范围是凸多形内部，不包括边界，在多边形内部选择一点，使得对方至少需要摧毁的塔防数量最多。（注意，是任意摧毁这么多数量的塔）

解题分析：

首先需要明白的是一个问题，对于摧毁一定数量的塔防，怎样的方案是使得剩下的保护范围最小。

结论是摧毁连续多个顶点，这样是最优的，可以尝试证明一下。

对于5个顶点的多边形，删除两个顶点，可以尝试连续两个顶点，以及间隔一个顶点。

由于原多边形是凸边形，所以还是比较容易得到连续顶点最优，同理可得其它情况。

题目要求的是使对方尽可能多的摧毁至少需要摧毁的塔防，联系复杂度等等问题

二分答案，然后判断是否存在一个区域，保证能受保护。

对于每一次二分，枚举删除连续的顶点，形成新的边界，通过半平面交判断是否存在可行区域。

注意：边界上的点是不受保护的，所以只需要判断多边形的核的面积即可。

           当剩余的点在2个以及以下是，是肯定可行的。避免处理麻烦。

再看一看题目的范围，5W个顶点，半平面交至少肯定是要用nlgn的算法，然而这道题连二分+nlogn算法也会卡，有一种叫做zzy的半平面交算法，是将所有向量按极角排序之后，维护了一个双端队列，排序部分达到nlgn的复杂度，其实后面只需要o(n)。然后再看这题，原先给的凸多形是有序的，而之后我们的连线的极角也是循环有序的，线性扫描一遍，找到最小的极角，便可以依次得到有序的向量，O(n)的线性sort。

这里的代码将原来的顺序调整为逆序，半平面交的算法是针对向量的左侧，而极角是顺时针有序。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define eps 1e-10
#define N 50005
#define zero(a) (fabs(a)<eps)
using namespace std;
struct Point {
    double x,y;
    Point(){}
    Point(double tx,double ty){x=tx;y=ty;}
}p[N],q[N];
int n,m;
struct Segment{
    Point s,e;
    double angle;
    void get_angle(){angle=atan2(e.y-s.y,e.x-s.x);}
}seg[N];
double xmul(Point p0,Point p1,Point p2){
    return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);
}
double Get_Area(Point pt[],int n){
    double area=0;
    for(int i=1;i<n-1;i++)
        area+=xmul(pt[0],pt[i],pt[i+1]);
    return fabs(area)/2;
}
Point Get_Intersect(Segment s1,Segment s2){
    double u=xmul(s1.s,s1.e,s2.s),v=xmul(s1.e,s1.s,s2.e);
    Point t;
    t.x=(s2.s.x*v+s2.e.x*u)/(u+v);t.y=(s2.s.y*v+s2.e.y*u)/(u+v);
    return t;
}
void HalfPlaneIntersect(Segment seg[],int n){
    int idx;
    for(int i=0;i<n;i++)
        if(seg[i].angle+eps<seg[(i+1)%n].angle&&seg[i].angle+eps<seg[(i-1+n)%n].angle){
            idx=i;
            break;
        }
    Segment deq[N];
    deq[0]=seg[idx];deq[1]=seg[(idx+1)%n];
    int head=0,tail=1;
    idx=(idx+2)%n;
    for(int i=2;i<n;i++,idx=(idx+1)%n){
        while(head<tail&&xmul(seg[idx].s,seg[idx].e,Get_Intersect(deq[tail],deq[tail-1]))<-eps) tail--;
        while(head<tail&&xmul(seg[idx].s,seg[idx].e,Get_Intersect(deq[head],deq[head+1]))<-eps) head++;
        deq[++tail]=seg[idx];
    }
    while(head<tail&&xmul(deq[head].s,deq[head].e,Get_Intersect(deq[tail],deq[tail-1]))<-eps) tail--;
    while(head<tail&&xmul(deq[tail].s,deq[tail].e,Get_Intersect(deq[head],deq[head+1]))<-eps) head++;
    m=0;
    if(tail==head) return;
    for(int i=head;i<tail;i++){
        q[m++]=Get_Intersect(deq[i],deq[i+1]);
    }
    if(tail>head+1)
        q[m++]=Get_Intersect(deq[head],deq[tail]);
}
int slove(int mid){
    if(n-mid<=2) return 1;
    for(int i=0;i<n;i++){
        seg[i].s=p[i];
        seg[i].e=p[(i+mid+1)%n];
        seg[i].get_angle();
    }
    HalfPlaneIntersect(seg,n);
    return zero(Get_Area(q,m));
}
int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
        for(int i=1;i<=n/2;i++) swap(p[i],p[n-i]);
        int ans,low=0,high=n,mid;
        while(low<=high){
            mid=(low+high)/2;
            if(slove(mid)){ans=mid;high=mid-1;}
            else low=mid+1;
        }
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}

2018-08-03